Тело K, размерами которого можно пренебречь, установлено в верхней точке A шероховатой поверхности неподвижного полуцилиндра радиуса R. Какую начальную горизонтальную скорость v0, направленную по касательной к цилиндру, нужно сообщить телу K, чтобы оно, начав движение, остановилось на поверхности цилиндра, если коэффициенты трения скольжения при движении и покое одинаковы и равны f
Тело K, размерами которого можно пренебречь, установлено в нижней точке A внутренней части шероховатой поверхности неподвижного цилиндра радиуса R. Какую начальную горизонтальную скорость v0, направленную по касательной к цилиндру, нужно сообщить телу K, чтобы оно достигло верхней точки B цилиндра? Коэффициент трения скольжения равен f
Шарик, подвешенный на нити, описывает окружность в горизонтальной плоскости, образуя конический маятник. Найти высоту конуса, если шарик совершает 20 оборотов в минуту.
Материальная точка единичной массы движется в горизонтальной плоскости под действием силового поля с потенциалом П=x2+xy+y2. В начальный момент точка имеет координаты x=3 см, y=4 см и скорость 10 см/с, параллельную положительному направлению оси x. Определить движение точки.
Маленькому кольцу, надетому на проволочную горизонтальную окружность радиуса a, сообщили начальную скорость. Коэффициент трения кольца о проволоку равен f. Определить, через какое время кольцо остановится.
Материальная точка массы 2 кг притягивается к некоторому центру силой F=(-8xi-8yj-2zk) Н. Начальное положение материальной точки определяется координатами x=4, y=2, z=4 см. Начальная скорость равна нулю. Определить уравнения движения точки и ее траекторию.
Пружина AB, закрепленная одним концом в точке A, такова, что для удлинения ее на 1 м необходимо приложить в точке B при статической нагрузке силу 19,6 Н. В некоторый момент к нижнему концу B недеформированной пружины подвешивают гирю C массы 0,1 кг и отпускают ее без начальной скорости. Пренебрегая массой пружины, написать уравнение дальнейшего движения гири и указать амплитуду и период ее колебаний, отнеся движение к оси, проведенной вертикально вниз из положения статического равновесия гири.
При равномерном спуске груза массы M=2 т со скоростью v=5 м/с произошла неожиданная задержка верхнего конца троса, на котором опускался груз, из-за защемления троса в обойме блока. Пренебрегая массой троса, определить его наибольшее натяжение при последующих колебаниях груза, если коэффициент жесткости троса 4*10^6 Н/м.
Груз Q, падая с высоты h=1 м без начальной скорости, ударяется об упругую горизонтальную балку в ее середине; концы балки закреплены. Написать уравнение дальнейшего движения груза на балке, отнеся движение к оси, проведенной вертикально вниз из положения статического равновесия груза на балке, если статический прогиб балки в ее середине при указанной нагрузке равен 0,5 см; массой балки пренебречь.
На каждую рессору вагона приходится нагрузка P Н; под этой нагрузкой рессора при равновесии прогибается на 5 см. Определить период собственных колебаний вагона на рессорах. Упругое сопротивление рессоры пропорционально стреле ее прогиба.
Определить период свободных колебаний фундамента машины, поставленного на упругий грунт, если масса фундамента с машиной M=90 т, площадь подошвы фундамента S=15 м2, коэффициент жесткости грунта c=λS, где λ=30 Н/см3 - удельная жесткость грунта.
Найти период свободных вертикальных колебаний корабля на спокойной воде, если масса корабля M т, площадь его горизонтальной проекции S м2. Плотность воды 1 т/м3. Силами, обусловленными вязкостью воды, пренебречь.
Груз, вес которого равен P Н, подвешен на упругой нити к неподвижной точке. Выведенный из положения равновесия, груз начинает совершать колебания. Выразить длину нити x в функции времени и найти, какому условию должна удовлетворять начальная длина ее x0, чтобы во время движения гири нить оставалась натянутой. Натяжение нити пропорционально удлинению; длина ее в нерастянутом состоянии равна l; от действия статической нагрузки, равной q Н, нить удлиняется на 1 см. Начальная скорость груза равна нулю.
На два вращающихся в противоположные стороны, указанные на рисунке, цилиндрических шкива одинакового радиуса свободно положен однородный стержень; центры шкивов O1 и O2 находятся на горизонтальной прямой O1O2; расстояние O1O2=2l. Стержень приводится в движение силами трения, развивающимися в точках касания его со шкивами; эти силы пропорциональны давлению стержня на шкив, причем коэффициент пропорциональности (трения) равен f. Определить движение стержня после того, как мы сдвинем его из положения симметрии на x0 при v0=0. Найти коэффициент трения, зная, что период колебаний стержня при l=25 см равен 2 c
К одной и той же пружине подвесили сначала груз веса p, а во второй раз груз веса Зp. Определить, во сколько раз изменится период колебаний. Зная коэффициент жесткости пружины c, а также начальные условия (грузы подвешивались к концу нерастянутой пружины и отпускались без начальной скорости), найти уравнения движения грузов.
К пружине жесткости c=2 кН/м сначала подвесили груз массы 6 кг, а затем заменили его грузом вдвое большей массы. Определить частоты и периоды колебаний грузов.
К пружине, коэффициент жесткости которой равен c=19,6 Н/м, были подвешены два груза с массами m1=0,5 кг и m2=0,8 кг. Система находилась в покое в положении статического равновесия, когда груз m2 убрали. Найти уравнение движения, частоту, круговую частоту и период колебаний оставшегося груза.
Груз массы m1=2 кг, подвешенный к пружине, коэффициент жесткости которой c=98 Н/м, находится в равновесии. В некоторый момент к грузу m1 добавили груз m2=0,8 кг. Определить уравнение движения и период колебаний двух грузов.
Груз подвесили сначала к пружине с жесткостью c1=2 кН/м, а затем к пружине с жесткостью c2=4 кН/м. Найти отношение частот и отношение периодов колебаний груза в этих двух случаях.
Тело массы m находится на наклонной плоскости, составляющей угол α с вертикалью. К телу прикреплена пружина, жесткость которой c. Пружина параллельна наклонной плоскости. Найти уравнение движения тела, если в начальный момент оно было прикреплено к концу нерастянутой пружины и ему была сообщена начальная скорость, направленная вниз по наклонной плоскости. Начало координат взять в положении статического равновесия.
На гладкой плоскости, наклоненной к горизонту под углом α находится прикрепленный к пружине груз веса P. Статическое удлинение пружины равно f. Определить колебания груза, если в начальный момент пружина была растянута из ненапряженного состояния на длину, равную 3f, и груз отпущен без начальной скорости.
Тело массы M=12 кг, прикрепленное к концу пружины, совершает гармонические колебания. При помощи секундомера установлено, что тело совершило 100 полных колебаний за 45 c. После этого к концу пружины добавочно прикрепили груз массы M1=6 кг. Определить период колебаний двух грузов на пружине.
В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения одного груза M и двух грузов M+M1, если в обоих случаях грузы были подвешены к концу нерастянутой пружины.
Груз M, подвешенный к неподвижной точке A на пружине, совершает малые гармонические колебания в вертикальной плоскости, скользя без трения по дуге окружности, диаметр которой AB равен l; натуральная длина пружины a; жесткость пружины такова, что при действии силы, равной весу груза, она получает удлинение, равное b. Определить период колебаний в том случае, когда l=a+b; массой пружины пренебречь и считать, что при колебаниях она остается растянутой.
В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения груза M, если в начальный момент BAM=φ0 и точке M сообщили начальную скорость, направленную по касательной к окружности вниз.
Тело E, масса которого равна m, находится на гладкой горизонтальной плоскости. К телу прикреплена пружина жесткости c, второй конец которой прикреплен к шарниру O1. Длина недеформированной пружины равна l0; в положении равновесия имеет конечный предварительный натяг, равный F0=c(l-l0), где l=OO1. Учитывая в горизонтальной составляющей упругой силы пружины лишь линейные члены относительно отклонения тела от положения равновесия, определить период малых колебаний тела.
Материальная точка массы m подвешена к концу нерастянутой пружины с коэффициентом жесткости c и отпущена с начальной скоростью v0, направленной вниз. Найти уравнение движения и период колебаний точки, если в момент времени, когда точка находилась в крайнем нижнем положении, к ней прикладывают силу Q=const, направленную вниз. Начало координат выбрать в положении статического равновесия, т.е. на расстоянии P/c от конца нерастянутой пружины.
Определить период свободных колебаний груза массы m, прикрепленного к двум параллельно включенным пружинам, и коэффициент жесткости пружины, эквивалентной данной двойной пружине, если груз расположен так, что удлинения обеих пружин, обладающих заданными коэффициентами жесткости c1 и c2, одинаковы.
В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения груза, если его подвесили к нерастянутым пружинам и сообщили ему начальную скорость, направленную вверх.
Определить коэффициент жесткости c пружины, эквивалентной двойной пружине, состоящей из двух последовательно включенных пружин с разными коэффициентами жесткости c1 и c2, и указать также период колебаний груза массы m, подвешенного на указанной двойной пружине.