1. На прямой даны три точки A, B, C, причем точка B лежит между точками А и C. Среди векторов AB , AC , BA и BC назовите одинаково направленные и противоположно направленные. РЕШЕНИЕ
2. Четырехугольник ABCD параллелограмм. Докажите равенство векторов AB и DC . РЕШЕНИЕ
3. Даны вектор AB и точка C. Отложите от точки C вектор, равный вектору AB , если: 1) точка C лежит на прямой AB; 2) точка C не лежит на прямой AB. РЕШЕНИЕ
4. Векторы a (2;4), b (-1;2), c (c1;c2,) отложены от начала координат. Чему равны координаты их концов? РЕШЕНИЕ
5. Абсолютная величина вектора a (5; m) равна 13, а вектора b(n; 24) равна 25. Найти m и n. РЕШЕНИЕ
6. Даны точки A (0;1), B (1;0), C (1;2), D (2;1). Докажите равенство векторов AB CD РЕШЕНИЕ
7. Даны три точки A (1;1). B (-1;0), C (0;1). Найдите такую точку D (x; y), чтобы векторы AB и CD были равны. РЕШЕНИЕ
8. Найдите вектор c, равный сумме векторов a и b , и абсолютную величину вектора c, если: 1) a (1; -4), b (-4;8); 2) a (2;5), b (4;3). РЕШЕНИЕ
9. Дан треугольник ABC. Найдите сумму векторов: 1) AC и CB ; 2) AB и CB ; 3) AC и AB; 4) CA и CB РЕШЕНИЕ
10. Найдите вектор c = a - b и его абсолютную величину, если 1) а (1;4), b (-4;8); 2) а (-2;7), b (4; -1). РЕШЕНИЕ
11. Даны векторы с общим началом: AB и AC . Докажите, что AC - AB = BC . РЕШЕНИЕ
12. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке M. Выразите векторы AB и CD через векторы a = AM , b = BM. РЕШЕНИЕ
13. Начертите три произвольных вектора a, b , c, как на рисунке. А теперь постройте векторы, равные: 1)a+ b + c; 2) a - b + c; 3) - a + b + c. РЕШЕНИЕ
14. 1)Докажите, что для векторов AB , BC и AC имеет место неравенство | AC |≤| AB |+| BC |. 2)Докажите, что для любых векторов а и b имеет место неравенство | а + b |≤| а |+| b |. РЕШЕНИЕ
15. К горизонтальной балке на двух равных нитях подвешен груз весом P. Определите силы натяжения нитей. РЕШЕНИЕ
16. С какой силой F надо удерживать груз весом P на наклонной плоскости, чтобы он не сползал вниз? РЕШЕНИЕ
17. Даны точки A (x1; y1) и B (x2, y2). Докажите, что векторы AB и BA противоположно направлены. РЕШЕНИЕ
18. Докажите, что векторы a (1;2) и b (0,5;1) одинаково направлены, а векторы c (-1;2) и a (0,5; -1) противоположно направлены. РЕШЕНИЕ
19. Даны векторы а (3;2) и b (0; -1). Найдите вектор c = - 2 а + 4 b и его абсолютную величину. РЕШЕНИЕ
20. Абсолютная величина вектора λа равна 5. Найдите λ если: 1) а (-6;8); 2) а (3;4); 3) а (5; 12). РЕШЕНИЕ
21. В треугольнике ABC проведена медиана AM. Докажите, что AM = 1/2 (AB + AC) РЕШЕНИЕ
22. Точки M и N являются серединами отрезков AB и CD со ответственно. Докажите векторное равенство MN = 1/2( AC + BD). РЕШЕНИЕ
23. Дан параллелограмм ABCD, AC = a, DB = b . Выразите векторы AB, CB , CD и AD через а и b . РЕШЕНИЕ
24. Докажите, что у коллинеарных векторов соответствующие координаты пропорциональны. И обратно: если у двух ненулевых векторов соответствующие координаты пропорциональны, то эти векторы коллинеарны. РЕШЕНИЕ
25. Даны векторы а (2; -4), b (1;1), с (1; -2), d (-2; -2). Укажите пары коллинеарных векторов. Какие из данных векторов одинаково направлены, а какие противоположно направлены? РЕШЕНИЕ
26. Известно, что векторы a(1; -1) и b (-2; m) коллинеарны. Найдите, чему равно m. РЕШЕНИЕ
27. Даны векторы а (1; 0), b (1;1) и с (-1; 0). Найдите такие числа λ и μ, чтобы имело место векторное равенство c = λa + μb . РЕШЕНИЕ
28. Докажите, что для любых векторов a и b (ab) ≤ a2 b2 РЕШЕНИЕ
29. Найдите угол между векторами a(1;2) и b (1; -1/2). РЕШЕНИЕ
30. Даны векторы а и b . Найдите абсолютную величину вектора a+ b , если известно, что абсолютные величины векторов а и b равны 1, а угол между ними 60°. РЕШЕНИЕ
31. Найдите угол между векторами a и a + b задачи 30 РЕШЕНИЕ
32. Даны вершины треугольника A (1;1), B (4;1), C (4;5). Найдите косинусы углов треугольника. РЕШЕНИЕ
33. Найдите углы треугольника с вершинами A (0; √3), B(2; √3), C (3/2; √3/2). РЕШЕНИЕ
34. Докажите что векторы a(m; n), b(-n; m) перпендикулярны или равны нулю РЕШЕНИЕ
35. Даны векторы a (3;4) и b (m;2). При каком значении m эти векторы перпендикулярны? РЕШЕНИЕ
36. Даны векторы a(1; 0) и b (1;1). Найдите такое число λ, чтобы вектор a + λb был перпендикулярен вектору a. РЕШЕНИЕ
37. Докажите, что если a и b единичные неколлинеарные векторы, то векторы a + b и a - b отличны от нуля и перпендикулярны РЕШЕНИЕ
38. Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон. РЕШЕНИЕ
39. Даны стороны треугольника a, b, c. Найдите его медианы ma, mb, mc. РЕШЕНИЕ
40. Докажите, что геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний от которых до двух данных точек постоянна, есть окружность с центром в середине отрезка, соединяющего данные точки. РЕШЕНИЕ
41. Векторы a + b и a – b перпендикулярны. Докажите что |a| = |b| РЕШЕНИЕ
42. Докажите с помощью векторов, что диагонали ромба перпендикулярны. РЕШЕНИЕ
43. Даны четыре точки A (1;1), B (2;3), C (0;4), D (-1;2). Докажите, что четырехугольник ABCD прямоугольник. РЕШЕНИЕ
44. Даны четыре точки A (0; 0), B (1;1), C (0;2), D (-1;1). Докажите, что четырехугольник ABCD квадрат. РЕШЕНИЕ
45. Среди векторов a(-3/5; 4/3), b(2/3; 2/3), c(0; -1), d(3/5; -4/5) найдите единичные и укажите, какие из них коллинеарны. РЕШЕНИЕ
46. Найдите единичный вектор e, коллинеарный вектору a (6;8) и одинаково с ним направленный. РЕШЕНИЕ
47. Даны координатные векторы e1(1; 0) и e2 (0;1). Чему равны координаты вектора 2e1 -3e2 РЕШЕНИЕ
48. 1) Даны три точки O, A, B. Точка X делит отрезок AB в отношении λ:μ, считая от точки A. Выразите вектор OX через векторы OA =a и OB = b . 2) Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке,которая делит их в отношении 2:1, считая от соответствующих вершин. РЕШЕНИЕ
49. Докажите что проекция a вектора c на ось абсцисс с координатным вектором e1(1; 0) задается формулой a = ke1, где k = ce1 РЕШЕНИЕ
50. Докажите, что проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций слагаемых на ту же ось. РЕШЕНИЕ