Задачи на тему Динамика вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

Предмет Физика
Из пособия Решебник Чертов, Воробьев

1 Вычислить момент инерции молекулы NO2 относительно оси z, проходящей через центр масс молекулы перпендикулярно плоскости, содержащей ядра атомов. Межъядерное расстояние d этой молекулы равно 0,118 нм, валентный угол 140
РЕШЕНИЕ

2 Физический маятник представляет собой стержень длиной 1 м и массой m1=1 кг с прикрепленным к одному из его концов диском массой m2=0,5 m1. Определить момент инерции Jz такого маятника относительно оси Оz, проходящей через точку O на стержне перпендикулярно плоскости чертежа
РЕШЕНИЕ

3 Вал в виде сплошного цилиндра массой m1=10 кг насажен на горизонтальную ось. На цилиндр намотан шнур, к свободному концу которого подвешена гиря массой m2=2 кг. С каким ускорением a будет опускаться гиря, если ее предоставить самой себе?
РЕШЕНИЕ

4 Через блок в виде диска, имеющий массу m=80 г, перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы массами m1=100 г и m2=200 г. С каким ускорением будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе? Трением пренебречь.
РЕШЕНИЕ

5 Маховик в виде диска массой m=50 кг и радиусом 20 см был раскручен до частоты вращения 480 мин-1 и затем предоставлен самому себе. Вследствие трения маховик остановился. Найти момент сил трения, считая его постоянным для двух случаев-маховик остановился через t=50 c; маховик до полной остановки сделал N=200 оборотов.
РЕШЕНИЕ

6 Платформа в виде диска радиусом R=1,5 м и массой m1=180 кг вращается по инерции около вертикальной оси с частотой n=10 мин-1. В центре платформы стоит человек массой m2=60 кг. Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы
РЕШЕНИЕ

7 Человек стоит в центре скамьи Жуковского и вместе с ней вращается по инерции. Частота вращения n1=0,5 с-1. Момент инерции тела человека относительно оси вращения равен 1,6 кг*м2. В вытянутых в стороны руках человек держит по гире массой m=2 кг каждая. Расстояние между гирями l1= 1,6 м. Определить частоту вращения n2 скамьи с человеком, когда он опустит руки и расстояние l2 между гирями станет равным 0,4 м. Моментом инерции скамьи пренебречь.
РЕШЕНИЕ

8 Стержень длиной l=1,5 м и массой M=10 кг может вращаться вокруг неподвижной оси, проходящей через верхний конец стержня. В середину стержня ударяет пуля массой m=10 г, летящая в горизонтальном направлении со скоростью v0=500 м/с, и застревает в стержне. На какой угол отклонится стержень после удара?
РЕШЕНИЕ

3.1 Определить момент инерции J материальной точки массой m=0,3 кг относительно оси, отстоящей от точки на r=20 см.
РЕШЕНИЕ

3.2 Два маленьких шарика массой m=10 г каждый скреплены тонким невесомым стержнем длиной l=20 см. Определить момент инерции системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через центр масс.
РЕШЕНИЕ

3.3 Два шара массами m и 2m, m=10 г закреплены на тонком невесомом стержне длиной l=40 см так, как это указано на рис. 3.7. Определить моменты инерции J системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец в этих двух случаях. Размерами шаров пренебречь.
РЕШЕНИЕ

3.4 Три маленьких шарика массой m=10 г каждый расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной a=20 см и скреплены между собой. Определить момент инерции системы относительно оси перпендикулярной плоскости треугольника и проходящей через центр описанной окружности; лежащей в плоскости треугольника и проходящей через центр описанной окружности и одну из вершин треугольника. Массой стержней, соединяющих шары, пренебречь.
РЕШЕНИЕ

3.5 Определить моменты инерции Jx, Jу, Jz трехатомных молекул типа АВ2 относительно осей x, y, z, проходящих через центр инерции С молекулы (ось z перпендикулярна плоскости ху). Межъядерное расстояние AB обозначено d, валентный угол α. Вычисления выполнить для следующих молекул H2O(d=0,097 нм, α=104°30; SO2(d=0,145 нм, α=124)
РЕШЕНИЕ

3.6 Определить момент инерции J тонкого однородного стержня длиной l=30 см и массой m=100 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец; его середину; точку, отстоящую от конца стержня на 1/3 его длины.
РЕШЕНИЕ

3.7 Определить момент инерции тонкого однородного стержня длиной l=60 см и массой m=100 г относительно оси, перпендикулярной ему и проходящей через точку стержня, удаленную на a=20 см от одного из его концов.
РЕШЕНИЕ

3.8 Вычислить момент инерции J проволочного прямоугольника со сторонами a=12 см и b=16 см относительно оси, лежащей в плоскости прямоугольника и проходящей через середины малых сторон. Масса равномерно распределена по длине проволоки с линейной плотностью τ=0,1 кг/м.
РЕШЕНИЕ

3.9 Два однородных тонких стержня-AB длиной l1=40 см и массой m1=900 г и CD длиной l2=40 см и массой m2=400 г скреплены под прямым углом. Определить момент инерции J системы стержней относительно оси OO, проходящей через конец стержня AB параллельно стержню CD.
РЕШЕНИЕ

3.10 Решить предыдущую задачу для случая, когда ось OO проходит через точку A перпендикулярно плоскости чертежа.
РЕШЕНИЕ

3.11 Определить момент инерции J проволочного равностороннего треугольника со стороной a=10 см относительно оси, лежащей в плоскости треугольника и проходящей через его вершину параллельно стороне, противоположной этой вершине; оси, совпадающей с одной из сторон треугольника. Масса m треугольника равна 12 г и равномерно распределена по длине проволоки.
РЕШЕНИЕ

3.12 На концах тонкого однородного стержня длиной l и массой Зm прикреплены маленькие шарики массами m и 2m. Определить момент инерции J такой системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку O, лежащую на оси стержня. Вычисления выполнить для случаев изображенных на рис. 3.11. При расчетах принять l=1 м, m=0,1 кг. Шарики рассматривать как материальные точки.
РЕШЕНИЕ

3.13 Найти момент инерции J тонкого однородного кольца радиусом R=20 см и массой m=100 г относительно оси, лежащей в плоскости кольца и проходящей через его центр.
РЕШЕНИЕ

3.14 Определить момент инерции J кольца массой m=50 г и радиусом R=10 см относительно оси, касательной к кольцу.
РЕШЕНИЕ

3.15 Диаметр диска d=20 см, масса m=800 г. Определить момент инерции диска относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска.
РЕШЕНИЕ

3.16 В однородном диске массой m=1 кг и радиусом r=30 см вырезано круглое отверстие диаметром d=20 см, центр которого находится на расстоянии l=15 см от оси диска. Найти момент инерции J полученного тела относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости диска через его центр.
РЕШЕНИЕ

3.17 Найти момент инерции J плоской однородной прямоугольной пластины массой m=800 г относительно оси, совпадающей с одной из ее сторон, если длина a другой стороны равна 40 см.
РЕШЕНИЕ

3.18 Определить момент инерции J тонкой плоской пластины со сторонами a=10 см и b=20 см относительно оси, проходящей через центр масс пластины параллельно большей стороне. Масса пластины равномерно распределена по ее площади с поверхностной плотностью 1,2 кг/м2.
РЕШЕНИЕ

3.19 Тонкий однородный стержень длиной l=1 м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку O на стержне. Стержень отклонили от вертикали на угол α и отпустили. Определить для начального момента времени угловое ε и тангенциальное aτ ускорения точки В на стержне. Вычисления произвести для следующих случаев a=0, b=2/3 l, α=π/2; a=l/3, b=l, α=π/3; a=l/4, b=l/2, α=2/3 π
РЕШЕНИЕ

3.20 Однородный диск радиусом R=10 см может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через точку O на нем. Диск отклонили на угол α и отпустили. Определить для начального момента времени угловое и тангенциальное ускорения точки B, находящейся на диске. Вычисления выполнить для следующих случаев a=R, b=R/2, α=π/2; a=R/2, b=R, α=π/6; a=2/3 R, b=2/3 R, α=2/3 π
РЕШЕНИЕ

3.21 Тонкий однородный стержень длиной l=50 см и массой m=400 г вращается с угловым ускорением 3 рад/с2 около оси, проходящей перпендикулярно стержню через его середину. Определить вращающий момент M.
РЕШЕНИЕ

3.22 На горизонтальную ось насажены маховик и легкий шкив радиусом R=5 см. На шкив намотан шнур, к которому привязан груз массой m=0,4 кг. Опускаясь равноускоренно, груз прошел путь s=1,8 м за время t=3 c. Определить момент инерции маховика. Массу шкива считать пренебрежимо малой.
РЕШЕНИЕ

3.23 Вал массой m=100 кг и радиусом R=5 см вращался с частотой n=8 с-1. К цилиндрической поверхности вала прижали тормозную колодку с силой F=40 Н, под действием которой вал остановился через t=10 c. Определить коэффициент трения
РЕШЕНИЕ

3.24 На цилиндр намотана тонкая гибкая нерастяжимая лента, массой которой по сравнению с массой цилиндра можно пренебречь. Свободный конец ленты прикрепили к кронштейну и предоставили цилиндру опускаться под действием силы тяжести. Определить линейное ускорение a оси цилиндра, если цилиндр сплошной; полый тонкостенный.
РЕШЕНИЕ

3.25 Через блок, имеющий форму диска, перекинут шнур. К концам шнура привязали грузики массой m1= 100 г и m2=110 г. С каким ускорением a будут двигаться грузики, если масса m блока равна 400 г? Трение при вращении блока ничтожно мало.
РЕШЕНИЕ

3.26 Два тела массами m1=0,25 кг и m2=0,15 кг связаны тонкой нитью, переброшенной через блок. Блок укреплен на краю горизонтального стола, по поверхности которого скользит тело массой m1. С каким ускорением a движутся тела и каковы силы T1 и T2 натяжения нити по обе стороны от блока? Коэффициент трения тела о поверхность стола равен 0,2. Масса m блока равна 0,1 кг и ее можно считать равномерно распределенной по ободу. Массой нити и трением в подшипниках оси блока пренебречь.
РЕШЕНИЕ

3.27 Через неподвижный блок массой m=0,2 кг перекинут шнур, к концам которого подвесили грузы массами m1=0,3 кг и m2=0,5 кг. Определить силы натяжения T1 и T2 шнура по обе стороны блока во время движения грузов, если масса блока равномерно распределена по ободу.
РЕШЕНИЕ

3.28 Шар массой m=10 кг и радиусом R=20 см вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Уравнение вращения шара имеет вид φ=A+Bt2+Сt3, где В=4 рад/с2, С=-1 рад/с3. Найти закон изменения момента сил, действующих на шар. Определить момент сил M в момент времени t=2 c.
РЕШЕНИЕ

3.29 Однородный тонкий стержень массой m1=0,2 кг и длиной 1 м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси z, проходящей через точку O. В точку A на стержне попадает пластилиновый шарик, летящий горизонтально перпендикулярно оси z со скоростью v=10 м/с и прилипает к стержню. Масса m2 шарика равна 10 г. Определить угловую скорость стержня и линейную скорость u нижнего конца стержня в начальный момент времени. Вычисления выполнить для следующих значений расстояния между точками A и О l/2; l/3; l/4
РЕШЕНИЕ

3.30 Однородный диск массой m1=0,2 кг и радиусом R=20 см может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси z, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через точку C. В точку A на образующей диска попадает пластилиновый шарик, летящий горизонтально перпендикулярно оси z со скоростью v=10 м/с, и прилипает к его поверхности. Масса шарика равна 10 г. Определить угловую скорость диска и линейную скорость u точки O на диске в начальный момент времени. Вычисления выполнить для следующих значений а и b:a=b=R; a=R/2, b=R; a=2R/3, b=R/2; a=R/3, b=2R/3.
РЕШЕНИЕ

3.31 Человек стоит на скамье Жуковского и ловит рукой мяч массой m=0,4 кг, летящий в горизонтальном направлении со скоростью 20 м/с. Траектория мяча проходит на расстоянии r=0,8 м от вертикальной оси вращения скамьи. С какой угловой скоростью начнет вращаться скамья Жуковского с человеком, поймавшим мяч, если суммарный момент инерции J человека и скамьи равен 6 кг*м2?
РЕШЕНИЕ

3.32 Маховик, имеющий вид диска радиусом R=40 см и массой m1=48 кг, может вращаться вокруг горизонтальной оси. К его цилиндрической поверхности прикреплен конец нерастяжимой нити, к другому концу которой подвешен груз массой m2=0,2 кг. Груз был приподнят и затем опущен. Упав свободно с высоты h=2 м, груз натянул нить и благодаря этому привел маховик во вращение. Какую угловую скорость груз сообщил при этом маховику?
РЕШЕНИЕ

3.33 На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска радиусом R=2 м, стоит человек массой m1=80 кг. Масса m2 платформы равна 240 кг. Платформа может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Пренебрегая трением, найти, с какой угловой скоростью будет вращаться платформа, если человек будет идти вдоль ее края со скоростью v=2 м/с относительно платформы.
РЕШЕНИЕ

3.34 Платформа, имеющая форму диска, может вращаться около вертикальной оси. На краю платформы стоит человек массой m1=60 кг. На какой угол повернется платформа, если человек пойдет вдоль края платформы и, обойдя его, вернется в исходную точку на платформе? Масса m2 платформы равна 240 кг. Момент инерции J человека рассчитывать как для материальной точки.
РЕШЕНИЕ

3.35 Платформа в виде диска радиусом R=1 м вращается по инерции с частотой 6 мин-1. На краю платформы стоит человек, масса m которого равна 80 кг. С какой частотой n будет вращаться платформа, если человек перейдет в ее центр? Момент инерции J платформы равен 120 кг*м2. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.
РЕШЕНИЕ

3.36 В центре скамьи Жуковского стоит человек и держит в руках стержень длиной l=2,4 м и массой m=8 кг, расположенный вертикально по оси вращения скамейки. Скамья с человеком вращается с частотой n1=1 с-1. С какой частотой n2 будет вращаться скамья с человеком, если он повернет стержень в горизонтальное положение? Суммарный момент инерции J человека и скамьи равен 6 кг*м2.
РЕШЕНИЕ

3.37 Человек стоит на скамье Жуковского и держит в руках стержень, расположенный вертикально вдоль оси вращения скамейки. Стержень служит осью вращения колеса, расположенного на верхнем конце стержня. Скамья неподвижна, колесо вращается с частотой n=10 с-1. Радиус колеса равен 20 см, его масса m=3 кг. Определить частоту вращения n2 скамьи, если человек повернет стержень на угол 180? Суммарный момент инерции J человека и скамьи равен 6 кг*м2. Массу колеса можно считать равномерно распределенной по ободу.
РЕШЕНИЕ

3.38 Шарик массой m=100 г, привязанный к концу нити длиной 1 м, вращается, опираясь на горизонтальную плоскость, с частотой n1=1 с-1. Нить укорачивается и шарик приближается к оси вращения до расстояния l2=0,5 м. С какой частотой n2 будет при этом вращаться шарик? Какую работу A совершит внешняя сила, укорачивая нить? Трением шарика о плоскость пренебречь.
РЕШЕНИЕ

3.39 Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением A+Вt+Сt2, где A=2 рад, В=32 рад/с, С=-4 рад/с2. Найти среднюю мощность, развиваемую силами, действующими на маховик при его вращении, до остановки, если его момент инерции J=100 кг*м2.
РЕШЕНИЕ

3.40 Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением φ=A+Вt+Сt2, где A=2 рад, В=16 рад/с, С=-2 рад/с2. Момент инерции маховика равен 50 кг*м2. Найти законы, по которым меняются вращающий момент и мощность. Чему равна мощность в момент времени t=3 с?
РЕШЕНИЕ

3.41 Якорь мотора вращается с частотой n=1500 мин-1. Определить вращающий момент, если мотор развивает мощность N=500 Вт.
РЕШЕНИЕ

3.42 Со шкива диаметром d=0,48 м через ремень передается мощность N=9 кВт. Шкив вращается с частотой n=240 мин-1. Сила натяжения T1 ведущей ветви ремня в два раза больше силы натяжения T2 ведомой ветви. Найти силы натяжения обеих ветвей ремня.
РЕШЕНИЕ

3.43 Для определения мощности мотора на его шкив диаметром d=20 см накинули ленту. К одному концу ленты прикреплен динамометр, к другому подвесили груз P. Найти мощность N мотора, если мотор вращается с частотой n=24 с-1, масса m груза равна 1 кг и показание динамометра F=24 Н.
РЕШЕНИЕ

3.44 Маховик в виде диска массой m=80 кг и радиусом R=30 см находится в состоянии покоя. Какую работу нужно совершить, чтобы сообщить маховику частоту n=10 с-1? Какую работу A2 пришлось бы совершить, если бы при той же массе диск имел меньшую толщину, но вдвое больший радиус?
РЕШЕНИЕ

3.45 Кинетическая энергия T вращающегося маховика равна 1 кДж. Под действием постоянного тормозящего момента маховик начал вращаться равнозамедленно и, сделав N=80 оборотов, остановился. Определить момент M силы торможения.
РЕШЕНИЕ

3.46 Маховик, момент инерции которого равен 40 кг*м2, начал вращаться равноускоренно из состояния покоя под действием момента силы M=20 Н*м. Вращение продолжалось в течение t=10 c. Определить кинетическую энергию T, приобретенную маховиком.
РЕШЕНИЕ

3.47 Пуля массой m=10 г летит со скоростью v=800 м/с, вращаясь около продольной оси с частотой n=3000 с-1. Принимая пулю за цилиндрик диаметром d=8 мм, определить полную кинетическую энергию T пули.
РЕШЕНИЕ

3.48 Сплошной цилиндр массой m=4 кг катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Линейная скорость оси цилиндра равна 1 м/с. Определить полную кинетическую энергию T цилиндра.
РЕШЕНИЕ

3.49 Обруч и сплошной цилиндр, имеющие одинаковую массу m=2 кг, катятся без скольжения с одинаковой скоростью v=5 м/с. Найти кинетические энергии T1 и T2 этих тел.
РЕШЕНИЕ

3.50 Шар катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Полная кинетическая энергия T шара равна 14 Дж. Определить кинетическую энергию T1 поступательного и T2 вращательного движения шара.
РЕШЕНИЕ

3.51 Определить линейную скорость v центра шара, скатившегося без скольжения с наклонной плоскости высотой h=1 м.
РЕШЕНИЕ

3.52 Сколько времени t будет скатываться без скольжения обруч с наклонной плоскости длиной l=2 м и высотой h=10 см?
РЕШЕНИЕ

3.53 Тонкий прямой стержень длиной l=1 м прикреплен к горизонтальной оси, проходящей через его конец. Стержень отклонили на угол 60 от положения равновесия и отпустили. Определить линейную скорость v нижнего конца стержня в момент прохождения через положение равновесия.
РЕШЕНИЕ

3.54 Однородный тонкий стержень длиной l=1 м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси z, проходящей через точку O на стержне. Стержень отклонили от положения равновесия на угол α и отпустили. Определить угловую скорость стержня и линейную скорость точки B на стержне в момент прохождения им положения равновесия. Вычисления выполнить для следующих случаев: a=0, b=l/2, α=π/3; a=l/3, b=2l/3, α=π/2; a=l/4, b=l, α=2π/3
РЕШЕНИЕ

3.55 Карандаш длиной l=15 см, поставленный вертикально, падает на стол. Какую угловую и линейную v скорости будет иметь в конце падения середина карандаша? верхний его конец? Считать, что трение настолько велико, что нижний конец карандаша не проскальзывает.
РЕШЕНИЕ

3.56 Однородный диск радиусом R=20 см может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси z, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через точку O. Определить угловую и линейную v скорости точки В на диске в момент прохождения им положения равновесия. Вычисления выполнить для следующих случаев a=b=R, α=π/2; a=R/2, b=0, α=π/3; a=2R/3, b=2R/3, α=5π/6; a=R/3, b=R, α=2π/3.
РЕШЕНИЕ