Задачи на тему Многоугольники

Предмет Геометрия
Из пособия Решебник Погорелов, 9 класс

1. Даны две окружности с радиусами R1 и R2 и расстояние между центрами d > R1 + R2. Чему равны наибольшее и наименьшее расстояния между точками X и Y этих окружностей.
РЕШЕНИЕ

2. Решите задачу 1 при условии, что d < R1 - R2.
РЕШЕНИЕ

3. Докажите, что если вершины ломаной не лежат на одной прямой, то длина ломаной больше длины отрезка, соединяющего ее концы.
РЕШЕНИЕ

4. Докажите, что у замкнутой ломаной расстояние между любыми двумя вершинами не больше половины длины ломаной.
РЕШЕНИЕ

5. Докажите, что у замкнутой ломаной длина каждого звена не больше суммы длин остальных звеньев.
РЕШЕНИЕ

6. Может ли замкнутая ломаная иметь звенья длиной 1 м, 2 м, 3 м, 4 м, 11 м? Объясните ответ.
РЕШЕНИЕ

7. Докажите, что если концы ломаной лежат по разные стороны от данной прямой, то она пересекает эту прямую.
РЕШЕНИЕ

8. Сколько диагоналей у n-угольника?
РЕШЕНИЕ

10. Углы выпуклого четырехугольника пропорциональны числам 1, 2, 3, 4. Найдите их.
РЕШЕНИЕ

11. Докажите, что у четырехугольника, описанного около окружности, суммы длин противолежащих сторон равны.
РЕШЕНИЕ

12. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, каждый из внутренних углов которого равен: 1) 135°? 2) 150°?
РЕШЕНИЕ

13. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый из внешних его углов равен: 1) 36°; 2) 24°?
РЕШЕНИЕ

14. Докажите, что взятые через одну вершины правильного 2n-угольника являются вершинами правильного n-угольника
РЕШЕНИЕ

15. Докажите, что середины сторон правильного n-угольника являются вершинами другого правильного n-угольника.
РЕШЕНИЕ

17. Хорда, перпендикулярная радиусу и проходящая через его середину, равна стороне правильного вписанного треугольника. Докажите.
РЕШЕНИЕ

18. У правильного треугольника радиус вписанной окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности. Докажите.
РЕШЕНИЕ

19. Сторона правильного вписанного в окружность треугольника равна a. Найдите сторону квадрата, вписанного в эту окружность.
РЕШЕНИЕ

20. В окружность, радиус которой 4 дм, вписан правильный треугольник, на стороне которого построен квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата.
РЕШЕНИЕ

21. Конец валика диаметром 4 см опилен под квадрат. Определите наибольший размер, который может иметь сторона квадрата.
РЕШЕНИЕ

22. Конец винта газовой задвижки имеет правильную трехгранную форму. Какой наибольший размер может иметь каждая грань, если цилиндрическая часть винта имеет диаметр 2 см?
РЕШЕНИЕ

23. Докажите, что сторона правильного 8-угольника вычисляется по формуле a8 = R(2-2) где R радиус описанной окружности.
РЕШЕНИЕ

24. Докажите, что сторона правильного 12-угольника вычисляется по формуле a12 = R(2-3) где R - радиус описанной окружности.
РЕШЕНИЕ

25. Найдите стороны правильного пятиугольника и правильного 10-угольника, вписанных в окружность радиуса R.
РЕШЕНИЕ

26. Сторона правильного многоугольника равна a, а радиус описанной окружности R. Найдите радиус вписанной окружности.
РЕШЕНИЕ

27. Сторона правильного многоугольника равна a, а радиус вписанной окружности r. Найдите радиус описанной окружности.
РЕШЕНИЕ

28. Выразите сторону b правильного описанного многоугольника через радиус R окружности и сторону a правильного вписанного многоугольника с тем же числом сторон.
РЕШЕНИЕ

29. Выразите сторону a правильного вписанного многоугольника через радиус R окружности и сторону b правильного описанного многоугольника с тем же числом сторон.
РЕШЕНИЕ

30. Впишите в окружность правильный 12-угольник.
РЕШЕНИЕ

31. Опишите около окружности правильный треугольник, квадрат, правильный восьмиугольник.
РЕШЕНИЕ

32. Радиусы вписанной и описанной окружностей одного правильного n-угольника равны r1 и R1, а радиус вписанной окружности другого правильного n-угольника равен r2;. Чему равен радиус описанной окружности другого n-угольника?
РЕШЕНИЕ

33. Периметры двух правильных n-угольников относятся как a:b. Как относятся радиусы их вписанных и описанных окружностей?
РЕШЕНИЕ

34. Вычислите длину окружности, если радиус равен: 1) 10 м; 2) 15 м.
РЕШЕНИЕ

35. На сколько изменится длина окружности, если радиус изменится на 1 мм?
РЕШЕНИЕ

36. Найдите отношение периметра правильного вписанного 8-угольника к диаметру и сравните его с приближенным значением π
РЕШЕНИЕ

37. Решите задачу № 36 для правильного 12-угольника.
РЕШЕНИЕ

38. Найдите радиус земного шара исходя из того, что 1 м составляет одну 40-миллионную долю длины экватора.
РЕШЕНИЕ

39. На сколько удлинился бы земной экватор, если бы радиус земного шара увеличился на 1 см?
РЕШЕНИЕ

40. Внутри окружности радиуса R расположены n равных окружностей, которые касаются друг друга в данной окружности. Найдите радиус этих окружностей, если число их равно: 1) 3; 2) 4; 3) 6.
РЕШЕНИЕ

41. Решите предыдущую задачу, если окружности расположены вне данной окружности.
РЕШЕНИЕ

42. Шкив имеет в диаметре 1,4 м и делает 80 оборотов в минуту. Найдите скорость точки на окружности шкива.
РЕШЕНИЕ

43. Найдите длину дуги окружности радиуса 1 см, отвечающей центральному углу: 1) 30°; 2) 45°; 3) 120°;
РЕШЕНИЕ

44. Сколько градусов содержит центральный угол, если соответствующая ему дуга составляет: 1) 1/23 2) 1/4;
РЕШЕНИЕ

45. Какой угол образуют радиусы Земли, проведенные в две точки на ее поверхности, расстояние между которыми равно 1 км? Радиус Земли равен 6370 км.
РЕШЕНИЕ

46. По радиусу R = 1 м найдите длину дуги, отвечающей центральному углу: 1) 45°; 2) 30°; 3) 120°; 4) 45°45 ; 5) 60°30 ; 6) 150°36 .
РЕШЕНИЕ

47. По данной хорде a найдите длину ее дуги, если градусная мера дуги равна: 1) 60°; 2) 90°; 3) 120°.
РЕШЕНИЕ

48. По данной длине дуги l найдите ее хорду, если дуга содержит: 1) 60°; 2) 90°; 3)120°.
РЕШЕНИЕ

49. Найдите радианную меру углов: 1) 30°; 2) 45°; 3) 60°.
РЕШЕНИЕ

50. Найдите радианную меру углов треугольника ABC, если A = 60°; B = 45°.
РЕШЕНИЕ

51. Найдите градусную меру угла, если его радианная мера равна: 1) π/2; 2) π/4; 3) π/8; 4) 5π/6; 5) 7π/18; 6) 4π/3;
РЕШЕНИЕ