Задачи на тему Окружность - Основы

Предмет Геометрия
Из пособия Задачи для старших классов и абитуриентов с решениями

1 Радиус ОМ окружности с центром О делит хорду AB пополам. Докажите, что касательная, проведенная через точку М, параллельна хорде AB.
РЕШЕНИЕ

2 На полуокружности AB взяты точки С и D так, что AC = 37, BD = 23. Найдите хорду CD, если радиус окружности равен 15 см.
РЕШЕНИЕ

3 Хорды AB и CD пересекаются в точке E. Найдите ED, если АЕ = 5, ВЕ = 2, СЕ = 2,5; АЕ = 16, ВЕ = 9, СЕ = ED.
РЕШЕНИЕ

1 Угол между диаметром AB и хордой AC равен 30. Через точку C проведена касательная, пересекающая прямую AB в точке D. Докажите, что треугольник ACD равнобедренный.
РЕШЕНИЕ

2 Отрезки AB и AC являются отрезками касательных к окружности с центром О, проведенными из точки A. Найдите угол ВАС, если середина отрезка АО лежит на окружности.
РЕШЕНИЕ

3 Хорды AB и CD окружности с центром О равны. Докажите, что две дуги с концами А и В соответственно равны двум дугам с концами C и D. Найдите дуги с концами C и D, если АОВ = 112
РЕШЕНИЕ

4 Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие, образующие угол в 32. Большая дуга окружности, заключенная между сторонами этого угла, равна 100. Найдите меньшую дугу.
РЕШЕНИЕ

5 Диаметр АА1 окружности перпендикулярен к хорде ВВ1 и пересекает ее в точке C. Найдите ВВ1, если AC = 4 см, СА1 = 8 см.
РЕШЕНИЕ

1 Отрезок АН перпендикуляр, проведенный из точки А к прямой, проходящей через центр О окружности радиуса 3 см. Является ли прямая АН касательной к окружности, если OA = 5 см, АН = 4 см; НАО = 45, OA = 4 см.
РЕШЕНИЕ

2 Вершины треугольника ABC лежат на окружности. Докажите, что если AB диаметр окружности, то угол С>А и С>B
РЕШЕНИЕ

3 Докажите, что перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые основание перпендикуляра делит диаметр.
РЕШЕНИЕ