Задачи на тему Четырехугольники

Предмет Геометрия
Из пособия Задачи для старших классов и абитуриентов с решениями

1 Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом, если углы BAC = ACD и BCA = DAC; AB||CD, A = C.
РЕШЕНИЕ

2 Докажите, что отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, параллелен основаниям трапеции.
РЕШЕНИЕ

3 Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Найдите периметр треугольника AOB, если CAD= 30, AC = 12 см.
РЕШЕНИЕ

4 Из вершины В ромба ABCD проведены перпендикуляры ВК и ВМ к прямым AD и DC. Докажите, что луч BD является биссектрисой угла KBM.
РЕШЕНИЕ

5 На диагонали AC квадрата ABCD взята точка М так, что АМ = AB. Через точку М проведена прямая, перпендикулярная к прямой AC и пересекающая BC в точке Н. Докажите, что ВН = НМ = МС.
РЕШЕНИЕ

1 Из вершин B и D параллелограмма ABCD, у которого AB ≠ BC и угол А острый, проведены перпендикуляры ВК и DM к прямой AC. Докажите, что четырехугольник BMDK параллелограмм.
РЕШЕНИЕ

2 Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что четырехугольник A1B1C1D1, вершинами которого являются середины отрезков OA, OB, OC и OD параллелограмм.
РЕШЕНИЕ

3 Сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности.
РЕШЕНИЕ

4 В параллелограмме, смежные стороны которого не равны, проведены биссектрисы углов. Докажите, что при их пересечении образуется прямоугольник.
РЕШЕНИЕ

5 Докажите, что точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон.
РЕШЕНИЕ

6 На двух сторонах треугольника вне его построены квадраты. Докажите, что отрезок, соединяющий концы сторон квадратов, выходящих из одной вершины треугольника, в два раза больше медианы треугольника, выходящей из той же вершины.
РЕШЕНИЕ

1 Точки М и N середины сторон AD и BC параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые AN и MC делят диагональ BD на три равные части.
РЕШЕНИЕ

2 Большее основание трапеции в два раза больше ее меньшего основания. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. Найти отношение высоты каждой из двух полученных трапеций к высоте данной трапеции.
РЕШЕНИЕ

3 В прямоугольнике со сторонами a и b проведены биссектрисы всех углов до взаимного пересечения. Найти площадь четырехугольника, образованного биссектрисами.
РЕШЕНИЕ

4 Длины сторон и диагоналей параллелограмма равны соответственно a, b, c и f. Найти углы параллелограмма, если a^4 + b^4 = c^2*f^2
РЕШЕНИЕ