Задачи на тему Равновесие произвольной системы сил

Предмет Теоретическая механика
Из пособия Решебник Мещерский

8.1 На круглой наклонной площадке, ось которой ACD наклонена к вертикали под углом 20°, укреплено в точке B тело веса 400 Н. Определить момент относительно оси AD, создаваемый силой тяжести тела, если радиус CB=3 м горизонтален.
РЕШЕНИЕ

8.2 Ветряной двигатель имеет четыре крыла, наклоненных под углом α=15°=arcsin 0,259 к плоскости, перпендикулярной оси вращения; равнодействующая сил давления ветра на каждое крыло равна 1 кН, направлена по перпендикуляру к плоскости крыла и приложена в точке, отстоящей на 3 м от оси вращения. Найти вращающий момент.
РЕШЕНИЕ

8.3 Электродвигатель, помещенный на оси O колесного ската трамвайного вагона, стремится повернуть ось против часовой стрелки, причем величина момента вращающей пары сил (P,P) равна 6 кН*м, а радиус колес 60 см. Определить силу тяги Q колесного ската, предполагая, что он стоит на горизонтальных рельсах. Трением качения пренебречь.
РЕШЕНИЕ

8.4 К окружностям трех дисков: A радиуса 15 см, B радиуса 10 см и C радиуса 5 см приложены пары сил; величины сил, составляющих пары, соответственно равны P1=10 Н, P2=20 Н и P. Оси OA, OB и OC лежат в одной плоскости; угол AOB прямой. Определить величину силы P и угол BOC=α так, чтобы система трех дисков, будучи совершенно свободной, оставалась в равновесии.
РЕШЕНИЕ

8.5 Подъемный кран установлен на трехколесной тележке ABC. Известны размеры крана: AD=DB=1 м, CD=1,5 м, CM=1 м, KL=4 м. Кран уравновешивается противовесом F. Вес крана с противовесом равен P=100 кН и приложен в точке G, лежащей в плоскости LMNF на расстоянии GH=0,5 м от оси крана MN; поднимаемый груз Q весит 30 кН. Найти давление колес на рельсы для такого положения крана, когда плоскость его LMN параллельна AB.
РЕШЕНИЕ

8.6 Временный подъемный кран состоит из пирамиды с горизонтальным основанием в виде равностороннего треугольника ABC и с вертикальной гранью в виде равнобедренного треугольника ADB; в точках O и D шарнирно закреплена вертикальная ось крана, вокруг которой может вращаться стрела OE, несущая груз P. Основание ABC прикреплено к фундаменту подшипниками A и B и вертикальным болтом C. Определить реакции опор при расположении стрелы в плоскости симметрии крана, если вес груза P=12 кН, вес крана Q=6 кН, причем расстояние его центра тяжести S от оси OD равно h=1 м, a=4 м, b=4 м.
РЕШЕНИЕ

8.7 Крышка светового машинного люка удерживается в горизонтальном положении стойкой FG, упирающейся в крышку в точке F на расстоянии EF=1,5 м от оси крышки. Вес крышки P=180 Н; длина ее CD=2,3 м; ширина CE=0,75 м, а расстояния шарниров A и B от краев крышки AE=BC=0,15 м. Найти реакции шарниров A и B и усилие S в стойке FG.
РЕШЕНИЕ

8.8 Однородная прямоугольная пластинка ABCD, опираясь на три точечные опоры, две из которых расположены в вершинах прямоугольника A и B, а третья в некоторой точке E, удерживается в горизонтальном положении. Вес пластинки равен P. Давление на опоры в точках A и B соответственно равны P/4 и P/5. Найти давление NE на опору в точке E и координаты этой точки, если длины сторон пластинки равны a и b.
РЕШЕНИЕ

8.9 Стол стоит на трех ножках, концы которых A, B и C образуют равносторонний треугольник со стороной a. Вес стола равен P, причем центр тяжести его расположен на вертикали zOO1, проходящей через центр O1 треугольника ABC. На столе помещен груз p в точке M, координаты которой x и y; ось Oy параллельна AB. Определить давление каждой ножки на пол.
РЕШЕНИЕ

8.10 Круглый стол стоит на трех ножках A1, A2 и A3; в центре O помещен груз. Какому условию должны удовлетворять центральные углы φ1, φ2 и φ3 для того, чтобы давления на ножки A1, A2 и A3 относились, как 1:2:√3? При решении задачи берутся моменты сил относительно двух из радиусов OA1, OA2 и OA3.
РЕШЕНИЕ

8.11 Круглая пластинка, весом которой пренебрегаем, покоится в горизонтальном положении, опираясь центром на острие O. Не нарушая равновесия, по окружности пластинки разместили грузы: P1 веса 1,5 Н, P2 веса 1 Н и P3 веса 2 Н. Определить углы α и β.
РЕШЕНИЕ

8.12 Ременный шкив CD динамо-машины имеет радиус 10 см; размеры вала AB указаны на рисунке. Натяжение верхней ведущей ветви ремня T1=100 Н, нижней ведомой T2=50 Н. Определить вращающий момент M и реакции подшипников A и B при равновесии системы, пренебрегая весом частей машины; (P,P) пара, образуемая силами сопротивления.
РЕШЕНИЕ

8.13 На горизонтальный вал, лежащий в подшипниках A и B, действуют: с одной стороны вес тела Q=250 Н, привязанного к шкиву C радиуса 20 см посредством троса, а с другой стороны вес тела P=1 кН, надетого на стержень DE, неизменно скрепленный с валом AB под прямым углом. Даны расстояния: AC=20 см, CD=70 см, BD=10 см. В положении равновесия стержень DE отклонен от вертикали на угол 30°. Определить расстояние l центра тяжести тела P от оси вала AB и реакции подшипников A и B.
РЕШЕНИЕ

8.14 На горизонтальный вал AB насажены зубчатое колесо C радиуса 1 м и шестерня D радиуса 10 см. Другие размеры указаны на рисунке. К колесу C по направлению касательной приложена горизонтальная сила P=100 Н, а к шестерне D, также по касательной, приложена вертикальная сила Q. Определить силу Q и реакции подшипников A и B в положении равновесия.
РЕШЕНИЕ

8.15 Рабочий удерживает груз Q=800 Н с помощью ворота, схематически изображенного на рисунке; радиус барабана R=5 см; длина рукоятки AK=40 см, AC=CB=50 см. Определить давление P на рукоятку и давления оси ворота на опоры A и B при том положении ворота, когда рукоятка AK горизонтальна; сила P вертикальна.
РЕШЕНИЕ

8.16 С помощью ворота, схематически изображенного на рисунке, удерживается груз Q=1 кН. Радиус барабана R=5 см. Длина рукоятки KD=40 см; AD=30 см; AC=40 см; CB=60 см. Веревка сходит с барабана по касательной, наклоненной к горизонту под углом 60°. Определить давление P на рукоятку и реакции опор A и B при том положении ворота, когда рукоятка KD горизонтальна.
РЕШЕНИЕ

8.17 На вал AB ворота намотана веревка, поддерживающая груз Q. Радиус колеса C, насаженного на вал, в шесть раз больше радиуса вала; другие размеры указаны на рисунке. Веревка, намотанная на окружность колеса и натягиваемая грузом P весом 60 Н, сходит с колеса по касательной, наклоненной к горизонту под углом α=30°. Определить вес груза Q, при котором ворот остается в равновесии, а также реакции подшипников A и B, пренебрегая весом вала и трением на блоке D.
РЕШЕНИЕ

8.18 Прямоугольная однородная полка ABCD веса G удерживается в горизонтальном положении тросом EH, составляющим с плоскостью полки угол α. Определить натяжение T троса (весом его пренебречь) и реакции петель A и B, если AK=KB=DE=EC и HK перпендикулярно AB.
РЕШЕНИЕ

8.19 Однородная прямоугольная крышка веса P=400 Н удерживается приоткрытой на 60° над горизонтом противовесом Q. Определить, пренебрегая трением на блоке D, вес Q и реакции шарниров A и B, если блок D укреплен на одной вертикали с A и AD=AC.
РЕШЕНИЕ

8.20 Однородная прямоугольная крышка ABCD ящика может вращаться вокруг горизонтальной оси AB на петлях в точках A и B. Горизонтальная веревка CE, параллельная Ax, удерживает крышку под углом DAx=30°. Определить реакции в петлях, если вес крышки 20 Н.
РЕШЕНИЕ

8.21 Крышка прямоугольного ящика ABCD подперта с одной стороны палочкой DE. Вес крышки 120 Н; AD=AE; угол DAE=60°. Определить реакции шарниров A и B, а также усилие S в палочке, пренебрегая ее весом.
РЕШЕНИЕ

8.22 Фрамуга ABDC веса Q=100 Н открыта на угол α=60°. Дано BD=BH; CE=ED; веревка EF параллельна прямой DH. Определить усилие P, необходимое для удержания фрамуги в равновесии, и реакции петель A и B.
РЕШЕНИЕ

8.23 Разводная часть ABCD моста веса 15 кН поднята цепью CE, перекинутой через блок E на лебедку K. Точка E находится в вертикальной плоскости CBy. Определить для изображенного на рисунке положения натяжение цепи CE и реакции в точках A и B. Центр тяжести разводной части совпадает с центром прямоугольника ABCD.
РЕШЕНИЕ

8.24 Однородная прямоугольная рама веса 200 Н прикреплена к стене при помощи шарового шарнира A и петли B и удерживается в горизонтальном положении веревкой CE, привязанной в точке C рамы и к гвоздю E, вбитому в стену на одной вертикали с A, причем ECA= BAC=30°. Определить натяжение веревки и опорные реакции.
РЕШЕНИЕ

8.25 Полка ABCD вагона, которая может вращаться вокруг оси AB, удерживается в горизонтальном положении стержнем ED, прикрепленным при помощи шарнира E к вертикальной стене BAE. Вес полки и лежащего на ней груза P равен 800 Н и приложен в точке пересечения диагоналей прямоугольника ABCD. Даны размеры: AB=150 см, AD=60 см, AK=BH=25 см. Длина стержня ED=75 см. Определить усилие S в стержне ED, пренебрегая его весом, и реакции петель K и H.
РЕШЕНИЕ

8.26 Квадратная однородная пластинка ABCD со стороной a=30 см и веса P=5 Н закреплена в точке A при помощи шарового шарнира, а в точке B при помощи цилиндрического шарнира. Сторона AB горизонтальна. В точке E пластинка опирается на острие. В точке H на пластинку действует сила F параллельно стороне AB. Найти реакции в точках A, B и E, если CE=ED, BH=10 см, F=10 Н и пластинка образует с горизонтальной плоскостью угол α=30°.
РЕШЕНИЕ

8.27 Однородная горизонтальная плита веса P, имеющая форму прямоугольного параллелепипеда, прикреплена неподвижно к земле шестью прямолинейными стержнями. Определить усилия в опорных стержнях, обусловленные весом плиты, если концы стержней прикреплены к плите и неподвижным устоям шаровыми шарнирами.
РЕШЕНИЕ

8.28 Определить усилия в шести опорных стержнях, поддерживающих квадратную плиту ABCD, при действии горизонтальной силы P вдоль стороны AD. Размеры указаны на рисунке.
РЕШЕНИЕ

8.29 Прямоугольная дверь, имеющая вертикальную ось вращения AB, открыта на угол CAD=60° и удерживается в этом положении двумя веревками, из которых одна, CD, перекинута через блок и натягивается грузом P=320 Н, другая, EF, привязана к точке F пола. Вес двери 640 Н; ее ширина AC=AD=1,8 м; высота AB=2,4 м. Пренебрегая трением на блоке, определить натяжение T веревки EF, а также реакции цилиндрического шарнира в точке A и подпятника в точке B.
РЕШЕНИЕ

8.30 Стержень AB удерживается в наклонном положении двумя горизонтальными веревками AD и BC. При этом в точке A стержень опирается на вертикальную стену, на которой находится точка D, а в точке B на горизонтальный пол. Точки A и C лежат на одной вертикали. Вес стержня 8 Н. Трением в точках A и B пренебрегаем. Проверить, может ли стержень оставаться в равновесии, и определить натяжения TA и TB веревок и реакции опорных плоскостей, если ABC= BCE=60°.
РЕШЕНИЕ

8.31 Пара сил, вращающая водяную турбину T и имеющая момент 1,2 кН*м, уравновешивается давлением на зубец B конического зубчатого колеса OB и реакциями опор. Давление на зубец перпендикулярно к радиусу OB=0,6 м и составляет с горизонтом угол α=15°=arctg 0,268. Определить реакции подпятника C и подшипника A, если вес турбины с валом и колесом равен 12 кН и направлен вдоль оси OC, а расстояния AC=3 м, AO=1 м.
РЕШЕНИЕ

8.32 Ветряной двигатель с горизонтальной осью AC имеет четыре симметрично расположенных крыла, плоскости которых составляют с вертикальной плоскостью, перпендикулярной оси AC, равные углы 30°. На расстоянии 2 м от оси к каждому крылу приложена нормально к его плоскости равнодействующая сил давления ветра, равная 1,2 кН (крыло D в проекции на плоскость xy изображено отдельно). Ось двигателя опирается в точке A на подшипник, в точке C на подпятник и удерживается в покое вертикальным давлением P на зубец колеса B, производимым не показанной на рисунке шестерней. Радиус колеса B равен 1,2 м; расстояния: BC=0,5 м, AB=1 м, AF=0,5 м. Определить давление P и реакции опор.
РЕШЕНИЕ

8.33 Груз Q равномерно поднимается мотором M посредством бесконечной цепи. Определить реакции опор A и B и натяжения в цепи, если ветви цепи наклонены к горизонту под углами 30° (ось O1x1 параллельна оси Ax). Известно, что r=10 см, R=20 см, Q=10 кН, натяжение ведущей части цепи вдвое больше натяжения ведомой части, т.е. T1=2T2.
РЕШЕНИЕ

8.34 Для подъема копровой бабы веса P=3 кН служит вертикальный ворот, вал которого радиуса r=20 см опирается нижним концом на подпятник A, а верхним концом удерживается в подшипнике B. Вал приводится во вращение мотором. Найти необходимый для равномерного подъема копровой бабы вращающий момент мотора, а также реакции в подпятнике A и подшипнике B. При этом дано: h1=1 м, h=30 см и вес вращающихся частей ворота P1=1 кН.
РЕШЕНИЕ

8.35 Ворот, служащий для подъема породы из наклонного шурфа, состоит из вала радиуса 0,25 м и длины 1,5 м. Вал приводится во вращение при помощи мотора (на рисунке не показан). Определить реакции опор и вращающий момент Mвр мотора, если вес вала равен 0,8 кН, вес груза 4 кН, коэффициент трения между грузом и поверхностью шурфа равен 0,5, угол наклона шурфа к горизонту равен 30° и место схода троса с вала находится на расстоянии 50 см от подшипника B. Вращение вала считать равномерным.
РЕШЕНИЕ

8.36 Горизонтальный вал трансмиссии, несущий два шкива C и D ременной передачи, может вращаться в подшипниках A и B. Радиусы шкивов: rC=20 см, rD=25 см; расстояния шкивов от подшипников: a=b=50 см; расстояние между шкивами c=100 см. Натяжения ветвей ремня, надетого на шкив C, горизонтальны и имеют величины T1 и t1, причем T1=2t1=5 кН, натяжения ветвей ремня, надетого на шкив D, образуют с вертикалью угол α=30° и имеют величины T2 и t2, причем T2=2t2. Определить натяжения T2 и t2 в условиях равновесия и реакции подшипников, вызванные натяжениями ремней.
РЕШЕНИЕ

8.37 Давление шатуна двигателя, сосредоточенное в середине D шейки коленчатого вала, равно P=20 кН и направлено под углом 10° к горизонту, причем плоскость ODO1, проходящая через оси вала OO1 и шейки D, образует с вертикалью угол 30°. От маховика усилие передается на завод канатом, ветви которого параллельны и наклонены к горизонту под углом 30°. Действие силы P уравновешивается натяжениями T и t ветвей каната и реакциями подшипников A и B. Вес маховика 13 кН, диаметр его d=2 м, сумма натяжений ветвей каната T+t=7,5 кН, а указанные на рисунке расстояния равны: точки D от оси OO1 r=125 мм, l=250 мм, m=300 мм, n=450 мм. Определить реакции подшипников A и B и натяжения t и T.
РЕШЕНИЕ

8.38 Для передачи вращения с одного вала на другой, ему параллельный, установлены два одинаковых вспомогательных шкива, заклиненных на горизонтальной оси KL. Ось может вращаться в подшипнике M, укрепленном на колонке MN. Треугольное основание этой колонки притянуто к полу двумя болтами A и B и свободно опирается точкой C. Болт A проходит через круглое отверстие в основании, болт же B через продолговатое отверстие, имеющее направление линии AB. Ось колонки проходит через центр треугольника ABC. Определить реакции в точках A, B и C, если расстояние оси KL от пола равно 1 м, расстояния середин шкивов от оси колонки равны 0,5 м и натяжения всех четырех ветвей ремней принимаются одинаковыми и равными 600 Н. Ветви правого ремня горизонтальны, а ветви левого наклонены к горизонту под углом 30°. Вес всей установки равен 3 кН и приложен к точке, лежащей на оси колонки; даны размеры: AB=BC=CA=50 см.
РЕШЕНИЕ

8.39 Подвеска подшипника ременного шкива D прикреплена к гладкому горизонтальному потолку MN в точках A и C и упирается в него точкой B. Эти точки лежат в вершинах равностороннего треугольника ABC со стороной 30 см. Положение центра ременного шкива D определяется вертикалью EF=40 см, опущенной из центра E треугольника ABC, и горизонталью FD=50 см, параллельной стороне AC. Плоскость шкива перпендикулярна прямой FD. Натяжение P каждой ветви ремня равно 1200 Н и наклонено к вертикали под углом 30°. Определить реакции в опорах A, B и C, пренебрегая весом частей.
РЕШЕНИЕ

8.40 Картина в раме, имеющей форму прямоугольника ABCD, подвешена на вертикальной стене при помощи шнура EKF, надетого на крюк K так, что край AB горизонтален; точки E, F середины сторон AD и BC. Картина наклонена к стене под углом α=arctg(3/4) и опирается на два гвоздя L и M, вбитых в стену, причем AL=MB. Размеры картины: AB=60 см, AD=75 см; вес картины 200 Н и приложен в центре прямоугольника ABCD; длина шнура 85 см. Определить натяжение T шнура и давления на гвозди L и M.
РЕШЕНИЕ

8.41 Бифиляр состоит из однородного стержня AA1, подвешенного на двух нерастяжимых нитях длины l, которые укреплены в точках B и B1. Длина стержня AA1=BB1=2r, а вес P. Стержень повернут вокруг вертикальной оси на угол α. Определить момент M пары, которую нужно приложить к стержню, чтобы удержать его в равновесии, а также натяжение T нитей.
РЕШЕНИЕ

8.42 Тренога ABDE, имеющая форму правильной пирамиды, укреплена шарнирно на двух консольных балках. Через блок, укрепленный в вершине E треноги, перекинут трос, равномерно поднимающий с помощью лебедки груз веса P. От блока к лебедке трос тянется параллельно консоли. Определить реакции заделки первой консоли, пренебрегая ее весом и весом треноги. Высота треноги равна l/2.
РЕШЕНИЕ

8.43 Четырехзвенный механизм робота-манипулятора расположен в горизонтальной плоскости Oxy. Длины всех звеньев одинаковы и равны l, масса каждого звена m. Масса объекта манипулирования 2m. Найти моменты сил тяжести относительно координатных осей. Звенья считать однородными стержнями.
РЕШЕНИЕ