Задачи на тему Кеплерово движение

Предмет Теоретическая механика
Из пособия Решебник Мещерский

51.1 Модуль силы всемирного тяготения, действующий на материальную точку массы m, определяется равенством F = mμ/r2, где μ = fМ гравитационный параметр притягивающего центра (М его масса, f гравитационная постоянная) и r расстояние от центра притяжения до притягиваемой точки. Зная радиус R небесного тела и ускорение g силы тяжести *) на его поверхности, определить гравитационный параметр ц небесного тела и вычислить его для Земли, если ее радиус R =6370 км, а g = 9,81 м/с2.
РЕШЕНИЕ

51.2 Определить гравитационный параметр и ускорение силы тяжести gn на поверхности небесного тела, если известны отношения его массы Мn и радиуса Rn к массе М и радиусу R Земли. Вычислить эти величины для Луны, Венеры, Марса и Юпитера, для которых соответствующие отношения даны в следующей таблице
РЕШЕНИЕ

51.3 Материальная точка равномерно движется по круговой орбите на высоте H над поверхностью небесного тела радиуса R под действием силы всемирного тяготения. Определить скорость движения v1 и период обращения Т материальной точки.
РЕШЕНИЕ

51.4 Пренебрегая высотой полета искусственного спутника над поверхностью небесного тела, определить первую космическую скорость v1 и соответствующий период Т обращения для Земли, Луны. Венеры, Марса и Юпитера.
РЕШЕНИЕ

51.5 На какой высоте нужно запустить круговой спутник Земли, обращающийся в плоскости экватора, для того, чтобы он все время находился над одним и тем же пунктом Земли?
РЕШЕНИЕ

51.6 Под каким углом β пересекается с земным экватором трасса спутника (проекция его траектории на земную поверхность), если он движется по круговой орбите высоты H, наклоненной под углом α к плоскости экватора?
РЕШЕНИЕ

51.7 Точка массы m притягивается к неподвижному центру по закону всемирного тяготения F = mμ/r2, где μ гравитационный параметр центра притяжения. Найти интеграл энергии.
РЕШЕНИЕ

51.8 Определить, при какой высоте Н круговой орбиты спутника его потенциальная энергия относительно поверхности планеты радиуса R равна его кинетической энергии.
РЕШЕНИЕ

51.9 Определить, с какой скоростью войдет метеорит в земную атмосферу, если его скорость на бесконечности v∞= 10 км/с.
РЕШЕНИЕ

51.10 Какую минимальную скорость v2 нужно сообщить космическому аппарату на поверхности планеты, чтобы он удалился в бесконечность?
РЕШЕНИЕ

51.11 Определить вторую космическую скорость для Земли, Луны, Венеры, Марса и Юпитера.
РЕШЕНИЕ

51.12 Точка движется под действием центральной силы. Считая, что модуль радиус-вектора г точки зависит от времени t сложным образом через полярный угол φ, определить скорость и ускорение точки *).
РЕШЕНИЕ

51.13 Точка массы m движется под действием центральной силы по коническому сечению, уравнение которого в полярных координатах имеет вид где р и е параметр и эксцентриситет траектории. Определить силу, под действием которой движется точка.
РЕШЕНИЕ

51.14 Точка массы m притягивается к неподвижному полюсу по закону всемирного тяготения F = mμ/r2. Найти траекторию движения точки.
РЕШЕНИЕ

51.15 Материальная точка движется под действием силы всемирного тяготения по эллиптической траектории, эксцентриситет которой е<1, а параметр р. Зная интеграл площадей c = = r2 φ=|r x v|, определить полуоси а и b эллиптической траектории и период обращения Т.
РЕШЕНИЕ

51.16 В условиях предыдущей задачи определить ускорение точки в моменты, когда она проходит апогей и перигей.
РЕШЕНИЕ

51.17 Зная период обращения Т спутника вокруг Земли по эллиптической орбите и разность его апогея и перигея Н, определить эксцентриситет орбиты.
РЕШЕНИЕ

51.18 Спутник движется около планеты радиуса R по эллиптической орбите с эксцентриситетом е. Найти большую полуось его орбиты, если отношение высот перигея и апогея равно γ<1.
РЕШЕНИЕ

51.19 Точка движется под действием силы всемирного тяготения F = mμ/r2. Выразить постоянную энергии h (см. задачу 51.7) через элементы траектории точки и гравитационный параметр μ.
РЕШЕНИЕ

51.20 В начальный момент материальная точка, движущаяся по закону всемирного тяготения, находилась в положении M0 на расстоянии r0 от притягивающего центра и имела скорость v0 угол между вектором скорости v0 и линией горизонта (касательной, проведенной в точке М0 к окружности, центр которой совпадает с центром притяжения) равнялся θ0, а полярный угол был равен φ0. Определить эксцентриситет e и угол ε между полярной осью и фокусной линией конического сечения
РЕШЕНИЕ

51.21 Определить, какую скорость надо сообщить космическому аппарату, чтобы, достигнув высоты Н над поверхностью планеты и отделившись от последней ступени ракеты, он двигался по эллиптической, параболической или гиперболической траектории. Радиус планеты R.
РЕШЕНИЕ

51.22. Какую нужно сообщить начальную скорость v0 = v3 материальной точке у поверхности Земли, чтобы она могла покинуть пределы Солнечной системы.
РЕШЕНИЕ

51.23 В момент отделения космического аппарата от последней ступени ракеты он находился в точке М0 на высоте Н = 230 км от поверхности Земли и имел начальную скорость v0 = 8,0 км/с, причем вектор скорости Vo составлял с линией горизонта (касательной, проведенной в точке М0 к окружности радиуса r0) угол θ0 = 0,02 рад. Определить постоянную площадей c, параметр p траектории, постоянную энергии h, направление большой оси эллиптической траектории спутника, эксцентриситет е траектории, апогей (Нmах) и периг гей (Hmin) и период Т обращения спутника.
РЕШЕНИЕ

51.24 При каком направлении начальной скорости космический аппарат упадет на поверхность планеты радиуса R вне зависимости от величины начальной скорости? Ответ: Если начальная скорость будет направлена внутрь конуса, описанного вокруг планеты из начальной точки.
РЕШЕНИЕ

51.25 При каких начальных условиях траектория космического аппарата, запущенного на высоте И от поверхности планеты радиуса R, не пересечет ее поверхности?
РЕШЕНИЕ

51.26 Найти зависимость между периодами Тi обращения планет вокруг Солнца и большими полуосями ai, их эллиптических траекторий.
РЕШЕНИЕ

51.27 Период обращения одного из спутников Юпитера, называемого Ио, равен 1,77 суток, причем радиус его орбиты составляет 5,91 радиуса Юпитера. Среднее расстояние Юпитер Солнце равно 5,20 среднего расстояния Земля Солнце (5,20*23000 земных радиусов), а период обращения Юпитера вокруг Солнца равен 11,8 лет. Определить отношение массы Юпитера к массе Солнца (радиус Юпитера равен 11,14 радиуса Земли).
РЕШЕНИЕ

51.28 Под средним значением |r| радиус-вектора точки, движущейся по эллиптической траектории, понимается величина, определяемая равенством, где Т - период обращении. Определить среднее значение радиус-вектора планеты, если a большая полуось, а е эксцентриситет ее эллиптической траектории.
РЕШЕНИЕ

51.29 Два спутника, имеющие равные массы, движутся в одном направлении вокруг притягивающего центра по компланарным орбитам, одна из которых круговая радиуса r0, а другая эллиптическая с расстояниями перигея и апогея r0 и 8r0 соответственно. Полагая, что спутники путем непосредственной стыковки соединились друг с другом в точке соприкосновения их орбит и дальнейшее движение продолжали вместе, найти апогей их новой орбиты.
РЕШЕНИЕ

51.30 Определить связь между истинной φ и эксцентрической E аномалиями точки на эллиптической орбите эксцентриситета е.
РЕШЕНИЕ

51.31 Выразить скорость в любом точке эллиптической орбиты через эксцентрическую аномалию.
РЕШЕНИЕ

51.32 Найти па эллиптической орбите такие точки, скорость движения в которых равна среднему геометрическому скоростей в перигее и апогее.
РЕШЕНИЕ

51.33 Зная выражения для радиус-вектора точки, совершающей эллиптическое движение вокруг притягивающего центра: где еr орт радиус-вектора r, проведенного из центра притяжения, (φ истинная, а Е эксцентрическая аномалии, найти выражения для вектора орбитальной скорости этой точки, записанные в орбитальной и инерциальной системах координат.
РЕШЕНИЕ

51.34 В какой точке эллиптической орбиты угол наклона траектории к местному горизонту (плоскость, перпендикулярная радиус-вектору) достигает наибольшего значения?
РЕШЕНИЕ

51.35 Спутник движется по круговой орбите радиуса r, делая один оборот за время Т. В результате получения радиального импульса скорости величины и он переходит на эллиптическую орбиту. Определить период обращения по эллиптической орбите.
РЕШЕНИЕ

51.36 Спутник движется по круговой орбите радиуса r, делая один оборот за время Т. В результате получения тангенциального (касательного) импульса скорости величины и он переходит на эллиптическую орбиту. Определить период обращения по эллиптической орбите Т1
РЕШЕНИЕ

51.37 Спутник движется по круговой околоземной орбите радиуса r. Определить величину радиального импульса скорости, в результате которого спутник перейдет на эллиптическую орбиту с перигеем r1
РЕШЕНИЕ

51.38 Космический корабль движется со скоростью v =30 км/с по орбите Земли, имеющей радиус r1= 150*10^6 км. Какой касательный импульс скорости и он должен получить, чтобы в афелии своей новой орбиты он достиг орбиты Марса (r2 = 228*10^6 км)? Решить такую же задачу для случая полета к орбите Венеры (r3 = 108*106^ км).
РЕШЕНИЕ

51.39 Спутник движется по эллиптической околоземной орбите с радиусом перигея и апогея соответственно r1 и r2. Определить величину касательного прироста скорости и в перигее, при котором высота апогея увеличится на Н.
РЕШЕНИЕ

51.40 Космический корабль, движущийся по круговой спутниковой орбите, должен стартовать с нее путем получения касательного импульса скорости м выйти на гиперболическую орбиту с заданным значением скорости на бесконечности и . При каком радиусе r0 начальной круговой орбиты величина необходимого импульса и будет наименьшей?
РЕШЕНИЕ