Задачи на тему Вписанная и описанная окружность

Предмет Геометрия
Из пособия Задачи для старших классов и абитуриентов с решениями

1 Найдите основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружности делит высоту, проведенную к основанию, в отношении 12:5, считая от вершины, а боковая сторона равна 60 см.
РЕШЕНИЕ

2 Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 10 см.
РЕШЕНИЕ

3 Докажите, что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.
РЕШЕНИЕ

4 Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность и можно описать около него окружность, то этот параллелограмм квадрат
РЕШЕНИЕ

1 Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит одну из боковых сторон на отрезки, равные 3 см и 4 см, считая от основания. Найдите периметр треугольника.
РЕШЕНИЕ

2 Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника равен 120, боковая сторона треугольника равна 8 см. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.
РЕШЕНИЕ

3 Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм ромб
РЕШЕНИЕ

4 Отрезок AB является диаметром окружности, а хорды BC и AD параллельны. Докажите, что хорда CD является диаметром.
РЕШЕНИЕ

1 В треугольник ABC вписана окружность, которая касается сторон AB, BC и СА в точках P, Q и R. Найдите АР, РВ, BQ, QC, CR, RA, если AB = 10 см, BC = 12 см, СА = 5 см.
РЕШЕНИЕ

2 Окружность с центром О описана около прямоугольного треугольника. Докажите, что точка O середина гипотенузы. Найдите стороны треугольника, если диаметр окружности равен d, а один из острых углов треугольника равен α
РЕШЕНИЕ

3 Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 10 см, а его площадь 12 см2. Найдите радиус окружности, вписанной в этот четырехугольник.
РЕШЕНИЕ

4 В равнобедренный треугольник вписана окружность с центром O1 и около него описана окружность с центром О2. Докажите, что точки лежат на серединном перпендикуляре к основанию треугольника
РЕШЕНИЕ

5 В трапецию с основаниями a и b можно вписать окружность и можно описать около него окружность, то этот параллелограмм квадрат
РЕШЕНИЕ