Задачи на тему Операции над векторами

Предмет Геометрия
Из пособия Задачи для старших классов и абитуриентов с решениями

1 Дан тетраэдр ABCD. Докажите, что AB + BD = AC + CD; AB + BC = DC + AD; DC + BD = AC + BA
РЕШЕНИЕ

2 Точка P вершина правильной шестиугольной пирамиды. Докажите, что сумма всех векторов с началом в точке Р, образованных боковыми ребрами пирамиды, равна сумме всех векторов с началом в точке P, образованных апофемами.
РЕШЕНИЕ

3 Диагонали куба ABCDA1B1C1D1 пересекаются в точке О. Найдите число k такое, что AB = k∙CD; AC1 = k∙АО; OB1 = k∙B1D
РЕШЕНИЕ

1 Измерения прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 имеют длины: AD = 8 см, AB = 9 см и АA1 = 12 см. Найдите длины векторов CC1, СВ, CD; DC1, DB, DB1
РЕШЕНИЕ

2 Пусть ABCD параллелограмм, а О произвольная точка пространства. Докажите, что OB – OA = OC – OD; OB – OC = DA
РЕШЕНИЕ

3 Даны точки A, B, С и D. Представьте вектор AB в виде алгебраической суммы следующих векторов AB, DC, BD; DA, DC, CB; DA, CD, BC.
РЕШЕНИЕ

4 Упростите 2(m + n) - 3(4m - n) + m; m – 3(n – 2m + p) + 5(p – 4m)
РЕШЕНИЕ

1 В тетраэдре ABCD точки M, N и K середины ребер AC, BC и СD соответственно, AB = 3 см, BC = 4 см, BD = 5 см. Найдите длины векторов AB, BC, BD, NM, BN, NK; CB, BA, DB, NC, NK
РЕШЕНИЕ

2 Дан прямоугольный параллелепипед KLMNK1L1M1N1. Докажите, что |MK + MM1| = |MK – MM1| ; |K1L1 – NL1| = |ML + MM1|; |NL – M1L| = |K1N – LN|
РЕШЕНИЕ

3 Упростите выражение OP – EP + KD – KA; AD + MP + EK – EP – MD; AC – BC – PM – AP + BM
РЕШЕНИЕ

4 Докажите, что в параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AC1 + B1D = 2BC.
РЕШЕНИЕ