Задачи на тему Компланарные векторы

Предмет Геометрия
Из пособия Задачи для старших классов и абитуриентов с решениями

1 Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Какие из следующих трех векторов компланарны AA1, CC1, BB1; AB, AD, AA1; B1B, AC, DD1; AD, CC1, A1B1
РЕШЕНИЕ

2 В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка К середина ребра CC1. Разложите вектор AK по векторам AB, AD, AA1; DA1 по векторам AB1, BC1 и CD1.
РЕШЕНИЕ

1 Отрезок EF соединяет середины ребер AC и BD тетраэдра ABCD. Докажите, что 2FE = BA + DC. Компланарны ли векторы FE, BA и DС
РЕШЕНИЕ

2 Числа k и l не равны друг другу. Докажите, что если векторы a + kb и a + lb не коллинеарны, то векторы a и b не коллинеарны; векторы а + k1b и a + l1b не коллинеарны при любых неравных числах k1 и l1.
РЕШЕНИЕ

3 На трех некомпланарных векторах p = AB, q = AD, r = AA1 построен параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Разложите по векторам p, q и r векторы, образованные диагоналями этого параллелепипеда.
РЕШЕНИЕ

1 Даны параллелограммы ABCD и A1B1C1D1. Докажите, что векторы BB1 CC1 DD1 компланарны.
РЕШЕНИЕ

2 Точки A1, B1 и C1 середины сторон BC, AC и AB треугольника ABC, точка O произвольная точка пространства. Докажите, что ОA1 + ОB1 + ОC1 = OA + OB + OC.
РЕШЕНИЕ

3 В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 диагонали грани DCC1D1 пересекаются в точке М. Разложите вектор AM по векторам AB, AD и AA1.
РЕШЕНИЕ