Автомобиль и велосипедист движутся навстречу друг другу со скоростями соответственно 20 и 5 м/с. Расстояние между ними в начальный момент времени равно 250 м. Написать уравнения движения тел и построить графики зависимости x = x(t). Систему отсчета связать с землей. Считать, что положение автомобиля при t = 0 совпадает с началом отсчета, а ось X направлена в ту же сторону, что и скорость движения автомобиля. Графически и аналитически определить:
а) место и время их встречи;
б) кто из них раньше пройдет сотый метр и на сколько раньше;
в) расстояние между ними через 5 с;
г) где находился автомобиль в тот момент, когда велосипедист проходил точку с координатой 225 м;
д) когда велосипедист проходил точку, в которой автомобиль был через 7,5 с после начала движения;
е) в какие моменты времени расстояние между ними было 125 м;
ж) какую точку автомобиль прошел раньше велосипедиста на 12,5 с
Механика
OX и направления скоростей автомобиля и велосипедиста показаны на рисунке, представленным выше. Обозначим расстояние между ними в начальный момент времени как l . Запишем уравнения движения:
v 1t′ = l − v 2t′
откуда получаем:
t ′ = l / v 1+v 2250 м / 20 м/с + 5 м/с t′ = 10 с в уравнение (1), найдем координату встречи:
x = 100 м автомобиль достигнет через t = 5 с, а велосипедист — через t = 30 с. Следовательно, сотый метр автомобиль пройдет раньше на 25 с.
в) Расстояние между двумя точками на прямой с координатамиx1 и x2 :
t = 5 с:
s = |100 м−225 м| = 125 м .
г) Из уравнения (2) определим время, через которое велосипедист окажется в точке с координатойx 2= 225 м:
t = 5 с. Подставляя в (1), найдем координату автомобиля:
t = 7,5 с:
t 1=5 с и t 2=15 с. Аналитически это будет выглядеть так:
x0 — искомая координата. Тогда
t1, t2 - моменты прохождения автомобилем и велосипедистом отметки с координатой x0 . Выражая t1, t2 и учитывая, что t2 − t1 = Δt получим
Первое
Второе
а) место и время их встречи;
б) кто из них раньше пройдет сотый метр и на сколько раньше;
в) расстояние между ними через 5 с;
г) где находился автомобиль в тот момент, когда велосипедист проходил точку с координатой 225 м;
д) когда велосипедист проходил точку, в которой автомобиль был через 7,5 с после начала движения;
е) в какие моменты времени расстояние между ними было 125 м;
ж) какую точку автомобиль прошел раньше велосипедиста на 12,5 с
Задача из пособия: Рымкевич А.П. 10-11 класс
Механика
Решение
x1 = x01 + v 1xt = v 1t = 20t (1)
x2 = x02 +v 2xt = l − v 2t = 250 − 5t(2)
Графики полученных зависимостей показаны на рисунке ниже.
x2 = x02 +
x′ = x(t′) = 20 м/с · 10 с = 200 м.
б) Из второго рисунка видно, что отметки с координатой в) Расстояние между двумя точками на прямой с координатами
s = |x1 − x2|
Воспользуемся уравнениями (1) и (2) с учетом x1 = 20 м/с · 5 с = 100 м
x2 = 250 м − 5 м/с · 5 с = 225 м.
Расстояние x2 = 250 м − 5 м/с · 5 с = 225 м.
г) Из уравнения (2) определим время, через которое велосипедист окажется в точке с координатой
225 = 250 − 5t
откуда x1= 20 м/с · 5с = 100 м.
д) Из (1) определим координату автомобиля в момент времени x1 = 20 м/с · 7,5 с = 150 м.
Подставим найденное значение в (2) и найдем искомое время:
150 = 250 − 5t
t =100 м / 5 м/с
е) Решение этого пункта удобно сначала сделать графически. Из второго рисунка видно, что расстояние 125 м было между автомобилем и велосипедистом в моменты времени t =
x2(t1) − x1(t1) = 125 = 250 − 5t1 − 20t1
t1 = 5 с
x1(t2) − x2(t2) = 125 = 20t2 − 250 + 5t2
t2 = 15 с
ж) Из 2-го рисунка видно, что искомая точка соответствует координате x = 150 м. Аналитическое решение сложнее. Пусть t1 = 5 с
x1(t2) − x2(t2) = 125 = 20t2 − 250 + 5t2
t2 = 15 с
x0 = v 1t1
x0 =l − v 2t2
где x0 =
Δt = l − x0/ v 2x0 / v 1
откуда
x0 = l v 1 - v 1v 2Δt/ v 1+v 2250 · 20 − 20·5·12,5 / 20+5
Второе