Однородный круглый диск массы M и радиуса R насажен на ось AB, проходящую через точку O диска и составляющую с его осью симметрии Cz1 угол α. OL — проекция оси z, совмещенной с осью AB, на плоскость диска, причем OE=a, OK=b. Вычислить боковые силы динамического давления на подшипники A и B, если диск вращается с постоянной угловой скоростью ω, а AO=OB=h.
Однородная прямоугольная пластинка массы M равномерно вращается вокруг своей диагонали AB с угловой скоростью ω. Определить силы динамического давления пластинки на опоры A и B, если длины сторон равны a и b.
С какой угловой скоростью должна вращаться вокруг катета AB=a однородная пластинка, имеющая форму равнобедренного прямоугольного треугольника ABD, чтобы сила бокового давления на нижнюю опору B равнялась нулю? Расстояние между опорами считать равным длине катета AB.
Вращающаяся часть подъемного крана состоит из стрелы CD длины L и массы M1, противовеса E и груза K массы M2 каждый. При включении постоянного тормозящего момента кран, вращаясь до этого с угловой скоростью, соответствующей n=1,5 об/мин, останавливается через 2 c. Рассматривая стрелу как однородную тонкую балку, а противовес с грузом как точечные массы, определить динамические реакции опор A и B крана в конце его торможения. Расстояние между опорами крана AB=3 м, M2=5 т, M1=8 т, α=45°, L=30 м, l=10 м, центр масс всей системы находится на оси вращения; отклонением груза от плоскости крана пренебречь. Оси x, y связаны с краном. Стрела CD находится в плоскости yz.
Однородная тяжелая балка AB длины 2l при закрепленных концах находится в горизонтальном положении. В некоторый момент конец A освобождается, и балка начинает падать, вращаясь вокруг горизонтальной оси, проходящей через конец B; в момент, когда балка становится вертикальной, освобождается и конец B. Определить в последующем движении балки траекторию ее центра масс и угловую скорость ω.
Тяжелый однородный стержень длины l подвешен своим верхним концом на горизонтальной оси O. Стержню, находившемуся в вертикальном положении, была сообщена угловая скорость 3√(g/l). Совершив полоборота, он отделяется от оси O. Определить в последующем движении стержня траекторию его центра масс и угловую скорость вращения.
Два однородных круглых цилиндра A и B, массы которых соответственно равны M1 и M2, а радиусы оснований r1 и r2, обмотаны двумя гибкими нитями, завитки которых расположены симметрично относительно средних плоскостей, параллельных основаниям цилиндров; оси цилиндров горизонтальны, причем образующие их перпендикулярны линиям наибольших скатов. Ось цилиндра A неподвижна; цилиндр B падает из состояния покоя под действием силы тяжести. Определить в момент t после начала движения, если нити еще остаются намотанными на оба цилиндра: угловые скорости цилиндров; пройденный центром масс цилиндра B путь; натяжение нитей.
Однородный стержень AB длины a поставлен в вертикальной плоскости под углом φ0 к горизонту так, что концом A он опирается на гладкую вертикальную стену, а концом B на гладкий горизонтальный пол; затем стержню предоставлено падать без начальной скорости. Определить угловую скорость и угловое ускорение стержня. Какой угол будет составлять стержень с горизонтом, когда он отойдет от стены.
Тонкая однородная доска ABCD прямоугольной формы прислонена к вертикальной стене и опирается на два гвоздя E и F без головок; расстояние AD равно FE. В некоторый момент доска начинает падать с ничтожно малой начальной угловой скоростью, вращаясь вокруг прямой AD. Исключая возможность скольжения доски вдоль гвоздей, определить угол BAB1, при котором горизонтальная составляющая реакции изменяет направление, и угол в момент отрыва доски от гвоздей.
Два диска вращаются вокруг одной и той же оси с угловыми скоростями ω1 и ω2; моменты инерции дисков относительно этой оси равны J1 и J2. Определить потерю кинетической энергии в случае, когда оба диска будут внезапно соединены фрикционной муфтой. Массой ее пренебречь.
Тело A вращается без трения относительно оси OO с угловой скоростью ωA. В теле A на оси O1O 1 помещен ротор B, вращающийся в ту же сторону с относительной скоростью ωB. Оси OO и O1O 1 расположены на одной прямой. Моменты инерции тела A и ротора B относительно этой прямой равны JA и JB. Пренебрегая потерями, определить работу, которую должен совершить мотор, установленный в теле A, для сообщения ротору B такой угловой скорости, при которой тело A остановится.
На шкив, вращающийся без сопротивления вокруг горизонтальной оси O с угловой скоростью ω0, накинули ремень с двумя грузами на концах. Шкив — однородный диск массы m и радиуса r, масса каждого из грузов M=2m. Считая начальные скорости грузов равными нулю, определить, с какой скоростью они будут двигаться после того, как скольжение ремня о шкив прекратится. Найти также работу сил трения ремня о шкив.
Твердое тело массы M качается вокруг горизонтальной оси O, перпендикулярной плоскости рисунка. Расстояние от оси подвеса до центра масс C равно a; радиус инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости рисунка, равен ρ. В начальный момент тело было отклонено из положения равновесия на угол φ0 и отпущено без начальной скорости. Определить две составляющие реакции оси R и N, расположенные вдоль направления, проходящего через точку подвеса и центр масс тела, и перпендикулярно ему. Выразить их в зависимости от угла φ отклонения тела от вертикали.
Тяжелый однородный цилиндр, получив ничтожно малую начальную скорость, скатывается без скольжения с горизонтальной площадки AB, край которой B заострен и параллелен образующей цилиндра. Радиус основания цилиндра r. В момент отделения цилиндра от площадки плоскость, проходящая через ось цилиндра и край B, отклонена от вертикального положения на некоторый угол CBC1=α. Определить угловую скорость цилиндра в момент отделения его от площадки, а также угол α. Трением качения и сопротивлением воздуха пренебречь.
Автомашина для шлифовки льда движется прямолинейно по горизонтальной плоскости катка. Положение центра масс C указано на рисунке к задаче 38.12. В момент выключения мотора машина имела скорость v. Найти путь, пройденный машиной до остановки, если fк коэффициент трения качения между колесами автомашины и льдом, а f - трения скольжения между шлифующей кромкой A и льдом. Массой колес радиуса r, катящихся без скольжения, пренебречь.
На боковой поверхности круглого цилиндра с вертикальной осью, вокруг которой он может вращаться без трения, вырезан гладкий винтовой желоб с углом подъема α. В начальный момент цилиндр находится в покое; в желоб опускают тяжелый шарик; он падает по желобу без начальной скорости и заставляет цилиндр вращаться. Дано: масса цилиндра M, радиус его R, масса шарика m; расстояние от шарика до оси считаем равным R и момент инерции цилиндра равным MR2/2. Определить угловую скорость цилиндра в момент , когда шарик опустится на высоту h.
Баба A ударного копра падает с высоты 4,905 м и ударяет наковальню B, укрепленную на пружине. Масса бабы 10 кг, и масса наковальни 5 кг. Определить, с какой скоростью начнется движение наковальни после удара, если баба будет двигаться вместе с ней.
Груз A массы M1 падает без начальной скорости с высоты h на плиту B массы M2, укрепленную на пружине, которая имеет коэффициент жесткости c. Найти величину s сжатия пружины после удара в предположении, что коэффициент восстановления равен нулю.
В приборе для опытного определения коэффициента восстановления шарик из испытуемого материала падает без начальной скорости внутри вертикальной прозрачной трубки с заданной высоты h1=50 см на неподвижно закрепленную горизонтальную пластинку из соответствующего материала. Найти коэффициент восстановления, если высота, на которую подскочил шарик после удара, оказалась равной h2=45 см.
Упругий шарик падает по вертикали с высоты h на горизонтальную плиту, отскакивает от нее вверх, вновь падает на плиту и т.д., продолжая эти движения. Найти путь, пройденный шариком до остановки, если коэффициент восстановления при ударе равен k.
Два тела с массами m1 и m2 и коэффициентом восстановления k движутся поступательно по одному и тому же направлению. Каковы должны быть их скорости v1 и v2, чтобы после удара догоняющее тело m1 остановилось, а тело m2 получило бы заданную скорость u2?
Паровой молот массы 12 т падает со скоростью 5 м/с на наковальню, масса которой вместе с отковываемой деталью равна 250 т. Найти работу A1, поглощаемую отковываемой деталью, и работу A2, потерянную на сотрясение фундамента, а также вычислить коэффициент η полезного действия молота; удар неупругий.
Молот массы m1=10 кг расплющивает заготовку до нужных размеров за 70 ударов. За сколько ударов эту операцию произведет молот массы m2=100 кг, если приводной механизм сообщает ему такую же скорость, что и первому молоту. Масса наковальни M=200 кг. Удар считать абсолютно неупругим.
Два одинаковых упругих шара A и B движутся навстречу друг другу. При каком соотношении между скоростями до удара шар A после удара остановится? Коэффициент восстановления при ударе равен k.
Тело A настигает тело B, имея в 3 раза большую скорость. Каким должно быть соотношение масс этих тел, чтобы после удара тело A остановилось? Удар считать прямым центральным. Коэффициент восстановления k=0,8.
Определить отношение масс двух шаров в следующих двух случаях: 1) первый шар находится в покое; происходит центральный удар, после которого второй остается в покое; 2) шары встречаются с равными и противоположными скоростями; после центрального удара второй шар остается в покое. Коэффициент восстановления равен k.
Три абсолютно упругих шара с массами m1, m2 и m3 лежат в гладком желобе на некотором расстоянии друг от друга. Первый шар, пущенный с некоторой начальной скоростью, ударяет во второй, покоящийся шар, который, начав двигаться, в свою очередь ударяет в третий, покоящийся шар. При какой величине массы m2 второго шара третий шар получит наибольшую скорость?
Шар массы m1, движущийся поступательно со скоростью v1, встречает покоящийся шар массы m2, так что скорость его образует при ударе угол α с линией, соединяющей центры шаров. Определить: скорость первого шара после удара, считая удар абсолютно неупругим; скорость каждого шара после удара, если он упругий с коэффициентом восстановления k.
Абсолютно упругий шар, центр которого движется прямолинейно со скоростью v, встречает под углом α гладкую вертикальную плоскость. Определить скорость шара после удара.
Стальной шарик падает на горизонтальную стальную плиту под углом 45° и отскакивает под углом 60° к вертикали. Определить коэффициент восстановления при ударе.
Шарик падает наклонно со скоростью v на неподвижную горизонтальную плоскость и отскакивает от плоскости со скоростью v1=v√2/2. Определить угол падения и угол отражения, если коэффициент восстановления при ударе k=√З/3.
Два одинаковых абсолютно упругих шара, двигаясь поступательно, соударяются с равными по модулю скоростями. Скорость левого шара до удара направлена по линии центров направо, а скорость правого шара до удара образует с линией центров угол α. Найти скорости шаров после удара.
Имеются три одинаковых шара M1, M2, M3 радиусов R, расстояние между центрами C1C2=a. Определить, на какой прямой AB, перпендикулярной линии C1C2, должен находиться центр C3 третьего шара, чтобы, получив некоторую скорость по направлению AB, он после удара о M2 нанес центральный удар M1; шары абсолютно упруги и движутся поступательно.