Для укрепления грунта под фундаментом здания сваи массы M=50 кг вбивались копром, боек которого массы M1=450 кг падал без начальной скорости с высоты h=2 м; при последних десяти ударах свая углубилась на δ=5 см. Определить среднее сопротивление грунта при вбивании свай. Удар считать неупругим.
Два шара с массами m1 и m2 висят на параллельных нитях длин l1 и l2 так, что центры их находятся на одной высоте. Первый шар был отклонен от вертикали на угол α1 и затем отпущен без начальной скорости. Определить угол предельного отклонения α2 второго шара, если коэффициент восстановления равен k.
Маятник ударной машины состоит из стального диска A радиуса 10 см и толщины 5 см и из стального круглого стержня B диаметром 2 см и длины 90 см. На каком расстоянии l от горизонтальной плоскости, в которой лежит ось вращения O, должен быть помещен разбиваемый машиной брусок C, чтобы ось не испытывала удара? Ударный импульс лежит в плоскости рисунка и направлен горизонтально.
Два шкива вращаются в одной плоскости вокруг своих осей с угловыми скоростями ω10 и ω20. Определить угловые скорости шкивов после накидывания ремня, считая их круглыми дисками одинаковой плотности с радиусами R1 и R2 и пренебрегая скольжением и массой ремня.
Баллистический маятник, употребляющийся для определения скорости снаряда, состоит из цилиндра AB, подвешенного к горизонтальной оси O; цилиндр открыт с одного конца A и наполнен песком; снаряд, влетающий в цилиндр, производит вращение маятника вокруг оси O на некоторый угол. Дано: M — масса маятника; OC=h — расстояние от его центра масс C до оси O; ρ — радиус инерции относительно оси O; m — масса снаряда; OD=a — расстояние от линии действия ударного импульса до оси; α — угол отклонения маятника. Определить скорость снаряда, предполагая, что ось маятника O не испытывает удара, причем ah=ρ2.
Однородный стержень массы M и длины l, прикрепленный своим верхним концом к цилиндрическому шарниру O, падает без начальной скорости из горизонтального положения. В вертикальном положении он ударяет груз массы m, сообщая ему движение по горизонтальной шероховатой плоскости. Коэффициент трения скольжения f. Определить путь, пройденный грузом, считая удар неупругим.
Однородная прямая призма с квадратным основанием стоит на горизонтальной плоскости и может вращаться вокруг ребра AB, лежащего в этой плоскости. Ребро основания призмы равно a, высота ее Зa, масса 3m. В середину C боковой грани, противолежащей ребру AB, ударяет шар массы m с горизонтальной скоростью v. Предполагая, что удар неупругий и что масса шара сосредоточена в его центре, который после удара остается в точке C, определить наименьшую величину скорости v, при которой призма опрокинется.
Платформа с помещенным на ней призматическим грузом AB катится по горизонтальным рельсам со скоростью v. На платформе имеется выступ, в который упирается ребро B груза, препятствуя последнему скользить по платформе вперед, но не препятствуя вращению его около ребра B. Дано: h — высота центра масс груза над платформой, ρ — радиус инерции груза относительно ребра B. Определить угловую скорость вращения груза около ребра B в момент мгновенной остановки платформы.
Полагая при условиях предыдущей задачи, что груз представляет собой однородный прямоугольный параллелепипед, длина ребра которого вдоль платформы равна 4 м, а высота 3 м, найти, при какой скорости произойдет опрокидывание груза.
Составить уравнение движения маятника переменной массы в среде, сопротивление которой пропорционально скорости. Масса маятника изменяется по заданному закону m(t) путем отделения частиц с относительной скоростью, равной нулю. Длина нити маятника l. На него действует также сила сопротивления, пропорциональная угловой скорости
Составить дифференциальное уравнение восходящего движения ракеты. Эффективную скорость истечения газов считать постоянной. Масса ракеты изменяется по закону сгорания m=m0f(t). Сила сопротивления воздуха является заданной функцией скорости и положения ракеты
Проинтегрировать уравнение движения предыдущей задачи при m=m0(1-αt) и R=0. Начальная скорость ракеты у поверхности Земли равна нулю. На какой высоте будет находиться ракета в моменты t=10; 30; 50 с при ve=2000 м/с и α=1/100 с-1?
Ракета начальной массы m0 поднимается вертикально вверх в однородном поле силы тяжести с постоянным ускорением ng. Пренебрегая сопротивлением атмосферы и считая эффективную скорость ve истечения газов постоянной, определить: закон изменения массы ракеты и ее массы при отсутствии поля тяготения.
Масса ракеты, описанной в задаче 45.2, изменяется до t=t0 по закону m=m0e-αt. Пренебрегая силой сопротивления, найти движение ракеты и, считая, что к моменту времени t0 весь заряд практически сгорел, определить максимальную высоту подъема ракеты. В начальный момент ракета имела скорость, равную нулю, и находилась на земле.
При условиях предыдущей задачи определить значение α, отвечающее максимальной возможной высоте подъема ракеты Hmax, и вычислить Hmax (величину μ=αt0=ln(m0/m1) считать постоянной; m1 — масса ракеты в момент t0).
Ракета стартует с Луны вертикально к ее поверхности. Эффективная скорость истечения ve=2000 м/с. Число Циолковского z=5. Определить, какое должно быть время сгорания топлива, чтобы ракета достигла скорости v=3000 м/с. Ускорение силы тяжести на Луне 1,62 м/с2
Ракета движется в однородном поле силы тяжести вверх с постоянным ускорением w. Пренебрегая сопротивлением атмосферы и считая эффективную скорость ve истечения газов постоянной, определить время T, за которое масса ракеты уменьшится в два раза.
Эффективная скорость истечения газов из ракеты ve=2,4 км/с. Какой процент должен составлять вес топлива от стартового веса ракеты, чтобы ракета, движущаяся вне поля тяготения и вне атмосферы, приобрела скорость 9 км/с?
Ракета движется поступательно при отсутствии тяготения и сопротивления среды. Эффективная скорость истечения газов ve=2400 м/с. Определить число Циолковского, если в момент полного сгорания топлива скорость ракеты будет равна 4300 м/с.
Тело переменной массы, имея начальную скорость, равную нулю, движется с постоянным ускорением w по горизонтальным направляющим. Эффективная скорость истечения газов ve постоянна. Определить, пренебрегая сопротивлением, путь, пройденный телом до того момента, когда его масса уменьшится в k раз.
Тело переменной массы движется по специальным направляющим, проложенным вдоль экватора. Касательное ускорение wτ=a постоянно. Не учитывая сопротивление движению, определить, во сколько раз уменьшится масса тела, когда оно сделает один оборот вокруг Земли, если эффективная скорость истечения газов ve=const. Каково должно быть ускорение a, чтобы после одного оборота тело приобрело первую космическую скорость? Радиус Земли R.
Тело скользит по горизонтальным рельсам. Истечение газа происходит вертикально вниз с постоянной эффективной скоростью ve. Начальная скорость тела равна v0. Найти закон изменения скорости тела и закон его движения, если изменение массы происходит по закону m=m0-at. Коэффициент трения скольжения равен f.
Решить предыдущую задачу, если изменение топлива будет происходить по закону m=m0e-αt. Определить, при каком α тело будет двигаться с постоянной скоростью.
Какой путь пройдет ракета на прямолинейном активном участке в пустоте и при отсутствии сил тяготения за время разгона от нулевой начальной скорости до скорости, равной эффективной скорости истечения продуктов сгорания ve, если известна начальная масса ракеты m0 и секундный расход β?
Ракета движется прямолинейно вне поля тяготения и при отсутствии сопротивления. Найти работу силы тяги к моменту, когда сгорит все топливо. Начальная масса ракеты m0, конечная m1. Эффективная скорость истечения постоянна.
При каком отношении z начальной m0 и конечной m1 масс ракеты, движущейся прямолинейно в пустоте и при отсутствии сил тяготения, ее механический к.п.д., определяемый как отношение кинетической энергии ракеты после выгорания топлива к затраченной энергии, имеет наибольшее значение?
Самолет, имеющий массу m0, приземляется со скоростью v0 на полярный аэродром. Вследствие обледенения масса самолета при движении после посадки увеличивается согласно формуле m=m0+at, где a=const. Сопротивление движению самолета по аэродрому пропорционально его весу с коэффициентом f. Определить промежуток времени до остановки самолета с учетом и без учета изменения его массы. Найти закон изменения скорости с течением времени.
Эффективные скорости истечения первой и второй ступени у двухступенчатой ракеты соответственно равны ve(1)=2400 м/с и ve(2)=2600 м/с. Определить, считая, что движение происходит вне поля тяготения и атмосферы, числа Циолковского для обеспечения конечной скорости v1=2400 м/с первой ступени и конечной скорости v2=5400 м/с второй ступени.
Считая, что у трехступенчатой ракеты числа Циолковского и эффективные скорости ve истечения у всех трех ступеней одинаковы, найти число Циолковского при ve=2,4 км/с, если после сгорания всего топлива скорость ракеты равна 9 км/с. Влиянием силы тяжести и сопротивлением атмосферы пренебречь.
Трехступенчатая ракета движется поступательно при отсутствии тяготения и сопротивления атмосферы. Эффективные скорости истечения и числа Циолковского для всех ступеней одинаковы и соответственно равны ve=2500 м/с, z=4. Определить скорости ракеты после сгорания горючего в первой ступени, во второй и в третьей.