В момент, когда приближающийся к Луне космический корабль находится на расстоянии H от ее поверхности и имеет скорость v0, направленную к центру Луны, включается тормозной двигатель. Учитывая, что сила тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояния от корабля до центра Луны и принимая, что масса корабля изменяется по закону m=m0e-αt (m0 масса в момент включения тормозного двигателя), найти α, при котором корабль совершит мягкую посадку. Эффективная скорость истечения газов постоянна. Радиус Луны R, ускорение силы тяжести на Луне gЛ.
Найти закон изменения массы ракеты, начавшей движение вертикально вверх с нулевой начальной скоростью, если ее ускорение w постоянно, а сопротивление среды пропорционально квадрату скорости с коэффициентом b. Поле силы тяжести считать однородным. Эффективная скорость истечения газа постоянна.
Ракета перемещается в однородном поле силы тяжести по прямой с постоянным ускорением w. Эта прямая образует угол α с горизонтальной плоскостью, проведенной к поверхности Земли в точке запуска ракеты. Предполагая, что эффективная скорость истечения газов постоянна по величине и направлению, определить, каково должно быть отношение начальной массы ракеты к ее массе без топлива (число Циолковского), если к моменту его сгорания ракета была на расстоянии H от касательной плоскости.
Тело переменной массы движется вверх с постоянным ускорением w по шероховатым прямолинейным направляющим, составляющим угол α с горизонтом. Считая, что поле силы тяжести является однородным, а сопротивление атмосферы движению тела пропорционально первой степени скорости с коэффициентом b, найти закон изменения массы тела. Эффективная скорость истечения газа постоянна; коэффициент трения скольжения между телом и направляющими равен f.
Аэростат весом Q поднимается вертикально и увлекает за собой сложенный на земле канат. На аэростат действует подъемная сила P, сила тяжести и сила сопротивления, пропорциональная квадрату скорости: R=-βx 2. Вес единицы длины каната γ. Составить уравнение движения аэростата.
Шарообразная водяная капля падает вертикально в атмосфере, насыщенной водяными парами. Вследствие конденсации масса капли возрастает пропорционально площади ее поверхности с коэффициентом α. Начальный радиус капли r0, ее начальная скорость v0, начальная высота h0. Определить скорость капли и закон изменения ее высоты со временем (сопротивлением пренебречь).
Решить предыдущую задачу в предположении, что на каплю кроме силы тяжести действует еще и сила сопротивления, пропорциональная площади максимального поперечного сечения и скорости капля R=-4βπr2v.
Свернутая в клубок тяжелая однородная цепь лежит на краю горизонтального стола, причем вначале одно звено цепи неподвижно свешивается со стола. Направляя ось x вертикально вниз и принимая в начальный момент x=0, определить движение цепи.
Цепь сложена на земле и одним концом прикреплена к вагонетке, стоящей на наклонном участке пути, образующем угол α с горизонтом. Коэффициент трения цепи о землю f. Вес единицы длины цепи γ, вес вагонетки P. Начальная скорость вагонетки v0. Определить ее скорость в любой момент времени и выяснить необходимое условие, когда вагонетка может остановиться.
Материальная точка массы m притягивается по закону всемирного тяготения Ньютона к неподвижному центру. Масса центра со временем меняется по закону M=M0/(1+αt). Определить движение точки.
Для быстрого сообщения ротору гироскопа необходимого числа оборотов применяется реактивный запуск. В тело ротора вделываются пороховые шашки общей массой m0, продукты сгорания которых выбрасываются через специальные сопла. Принять пороховые шашки за точки, расположенные на расстоянии r от оси вращения ротора. Касательная составляющая эффективной скорости истечения продуктов сгорания постоянна. Общий расход массы пороха за секунду q. Определить угловую скорость ротора к моменту сгорания пороха, если на ротор действует постоянный момент сопротивления M. Его радиус R. В начальный момент он покоится.
По данным предыдущей задачи найти угловую скорость ротора после сгорания пороха, если на ротор действует момент сопротивления, пропорциональный его угловой скорости с коэффициентом b
Груз Q поднимается с помощью домкрата, который приводится в движение рукояткой OA=0,6 м. К концу рукоятки, перпендикулярно ей, приложена сила P=160 Н. Определить величину силы тяжести груза, если шаг винта домкрата h=12 мм.
На маховичок коленчатого пресса действует вращающий момент M; ось маховичка имеет на концах винтовые нарезки шага h противоположного направления и проходит через две гайки, шарнирно прикрепленные к двум вершинам стержневого ромба со стороною a; верхняя вершина ромба закреплена неподвижно, нижняя прикреплена к горизонтальной плите пресса. Определить силу давления пресса на сжимаемый предмет в момент, когда угол при вершине ромба равен 2α.
Определить зависимость между модулями сил P и Q в клиновом прессе, если сила P приложена к концу рукоятки длины a перпендикулярно оси винта и рукоятки. Шаг винта равен h. Угол при вершине клина равен α.
Рисунок представляет схему машины для испытания образцов на растяжение. Определить зависимость между усилием X в образце K и расстоянием x от груза P массы M до его нулевого положения O, если при помощи груза Q машина уравновешена так, что при нулевом положении груза P и при отсутствии усилия в K все рычаги горизонтальны. Даны расстояния l1, l2 и e.
Грузы K и L, соединенные системой рычагов, изображенных на рисунке, находятся в равновесии. Определить зависимость между массами грузов, если BC/AC=1/10, ON/OM=1/3, DE/DF=1/10.
На платформе в точке F находится груз массы M. Длина AB=a; BC=b, CD=c; IK=d; длина платформы EG=L. Определить соотношение между длинами b, c, d, l, при котором масса гири, уравновешивающей груз, не зависит от положения его на платформе, и найти массу гири в этом случае.
К ползуну A механизма эллипсографа приложена сила P, направленная вдоль направляющей ползуна к оси вращения O кривошипа OC. Какой вращающий момент надо приложить к кривошипу OC для того, чтобы механизм был в равновесии в положении, когда кривошип OC образует с направляющей ползуна угол φ? Механизм расположен в горизонтальной плоскости, причем OC=AC=CB=l.
Полиспаст состоит из неподвижного блока A и из n подвижных блоков. Определить в случае равновесия отношение массы M поднимаемого груза к силе P, приложенной к концу каната, сходящего с неподвижного блока A.
В кулисном механизме при качании рычага OC вокруг горизонтальной оси O ползун A, перемещаясь вдоль рычага OC, приводит в движение стержень AB, движущийся в вертикальных направляющих K. Даны размеры: OC=R, OK=l. Какую силу Q надо приложить перпендикулярно кривошипу OC в точке C для того, чтобы уравновесить силу P, направленную вдоль стержня AB вверх?
Кулак K массы M1 находится в покое на гладкой горизонтальной плоскости, поддерживая стержень AB массы M2, который расположен в вертикальных направляющих. Система находится в покое под действием силы F, приложенной к кулаку K по горизонтали направо. Определить модуль силы F, если боковая поверхность кулака образует с горизонтом угол α. Найти также область значений модуля силы F в случае негладкой горизонтальной плоскости, если коэффициент трения скольжения между основанием кулака K и горизонтальной плоскостью равен f.
Круговой кулак K массы M1 и радиуса R стоит на негладкой горизонтальной плоскости. Он соприкасается с концом A стержня AB массы M2, расположенного в вертикальных направляющих. Система находится в покое под действием силы F, приложенной к кулаку по горизонтали направо. При этом AM=h. Найти область значений модуля силы F, если коэффициент трения скольжения кулака о горизонтальную плоскость равен f.
Круглый эксцентрик A массы M1 насажен на неподвижную горизонтальную ось O, перпендикулярную плоскости рисунка. Эксцентрик поддерживает раму B массы M2, имеющую вертикальные направляющие. Трением пренебречь. Эксцентриситет OC=a. Найти величину момента mO, приложенного к эксцентрику, если при покое материальной системы OC образует с горизонталью угол α.
В механизме домкрата при вращении рукоятки A длины R начинают вращаться зубчатые колеса 1, 2, 3, 4 и 5, которые приводят в движение зубчатую рейку B домкрата. Какую силу надо приложить перпендикулярно рукоятке в конце ее для того, чтобы чашка C при равновесии домкрата развила давление равное 4,8 кН? Радиусы зубчатых колес соответственно равны: r1=3 см, r2=12 см, r3=4 см, r4=16 см, r5=3 см, длина рукоятки R=18 см.
Дифференциальный ворот состоит из двух жестко связанных валов A и B, приводимых во вращение рукояткой C длины R. Поднимаемый груз D массы M прикреплен к подвижному блоку E, охваченному канатом. При вращении рукоятки C левая ветвь каната сматывается с вала A радиуса r1, а правая ветвь наматывается на вал B радиуса r2 (r2>r1). Какую силу P надо приложить перпендикулярно рукоятке в конце ее для того, чтобы уравновесить груз D, если M=720 кг, r1=10 см, r2=12 см, R=60 см?
В механизме антипараллелограмма ABCD звенья AB, CD и BC соединены цилиндрическими шарнирами B и C, а цилиндрическими шарнирами A и D прикреплены к стойке AD. К звену CD в шарнире C приложена горизонтальная сила FC. Определить модуль силы FB, приложенной в шарнире B перпендикулярно звену AB, если механизм находится в равновесии, как на рисунке. Дано: AD=BC, AB=CD, ABC=ADC=90°, DCB=30°
Кривошипно-ползунный механизм OAB связан в середине шатуна AB цилиндрическим шарниром C со стержнем CD. Стержни CD и DE соединены цилиндрическим шарниром D. Определить зависимость между модулями сил FA и FD, соответственно перпендикулярных стержням OA и DE, при равновесии механизма в положении, указанном на рисунке. DCB=150°, CDE=90°.
Колодочно-бандажный тормоз вагона трамвая состоит из трех тяг AB, BC и CD, соединенных шарнирами B и C. При действии горизонтальной силы F тормозные колодки K и L, соответственно прикрепленные к тягам AB и CD, прижимаются к колесу. Определить силы давления NK и NL колодок на колесо. Размеры указаны на рисунке. Вагон находится в покое.
На рисунке изображена схема колодочно-бандажного тормоза вагона трамвая. Определить зависимость между a, b и c, при наличии которой колодки A и B под действием силы F прижимаются с одинаковыми по модулю силами к бандажам колес C и D. Найти также величину этой силы. Колеса считать неподвижными.
Найти массы M1 и M2 двух грузов, удерживаемых в равновесии грузом массы M на плоскостях, наклоненных к горизонту под углами α и β, если грузы с массами M1 и M2 прикреплены к концам троса, идущего от M1 через блок O1, насаженный на горизонтальную ось, к подвижному блоку O, и затем через O2, насаженный на ось O1, к грузу массы M2. O1 и O2 соосные. Трением, а также массами блоков и троса пренебречь.
К концам нерастяжимой нити привязаны грузы A и B одинаковой массы. От груза A нить проходит параллельно горизонтальной плоскости, огибает неподвижный блок C, охватывает подвижный блок D, затем огибает неподвижный блок E, где к другому концу нити привязан груз B. К оси подвижного блока D подвешен груз K массы M. Определить массу M1 каждого из грузов A и B и коэффициент трения скольжения f груза A о горизонтальную плоскость, если система грузов находится в покое. Массой нити пренебречь.
Составная балка AD, лежащая на трех опорах, состоит из двух балок, шарнирно соединенных в точке C. На балку действуют вертикально силы, равные 20 кН, 60 кН, 30 кН. Определить реакции опор A, B и D.