Геометрия

Начертите три произвольных вектора a, b , c, как на рисунке. А теперь постройте векторы, равные a+ b + c; a-b + c; -a + b + c.Докажите, что для векторов AB , BC и AC имеет место неравенство AC ≤AB +BC . Докажите, что для любых векторов а и b имеет место неравенство а + b≤а+bК горизонтальной балке на двух равных нитях подвешен груз весом P. Определите силы натяжения нитей.С какой силой F надо удерживать груз весом P на наклонной плоскости, чтобы он не сползал вниз?Даны точки A (x1; y1) и B (x2, y2). Докажите, что векторы AB и BA противоположно направлены.Докажите, что векторы a (1;2) и b (0,5;1) одинаково направлены, а векторы c (-1;2) и a (0,5; -1) противоположно направлены.Даны векторы а (3;2) и b (0; -1). Найдите вектор c = - 2 а + 4 b и его абсолютную величину.Абсолютная величина вектора λа равна 5. Найдите λ если а (-6;8); а (3;4); а (5; 12).В треугольнике ABC проведена медиана AM. Докажите, что AM = 1/2 (AB + AC)Точки M и N являются серединами отрезков AB и CD со ответственно. Докажите векторное равенство MN = 1/2( AC + BD).Дан параллелограмм ABCD, AC = a, DB = b . Выразите векторы AB, CB , CD и AD через а и b .Докажите, что у коллинеарных векторов соответствующие координаты пропорциональны. И обратно: если у двух ненулевых векторов соответствующие координаты пропорциональны, то эти векторы коллинеарны.Даны векторы а (2; -4), b (1;1), с (1; -2), d (-2; -2). Укажите пары коллинеарных векторов. Какие из данных векторов одинаково направлены, а какие — противоположно направлены?Известно, что векторы a(1; -1) и b (-2; m) коллинеарны. Найдите, чему равно m.Даны векторы а (1; 0), b (1;1) и с (-1; 0). Найдите такие числа λ и μ, чтобы имело место векторное равенство c = λa + μb .Докажите, что для любых векторов a и b (ab)≤a2 b2Найдите угол между векторами a(1;2) и b (1; -1/2).Даны векторы а и b . Найдите абсолютную величину вектора a + b , если известно, что абсолютные величины векторов а и b равны 1, а угол между ними 60Найдите угол между векторами a и a + b задачи 30Даны вершины треугольника A (1;1), B (4;1), C (4;5). Найдите косинусы углов треугольника.Найдите углы треугольника с вершинами A (0; √3), B(2; √3), C (3/2; √3/2).Докажите что векторы a(m; n), b(-n; m) перпендикулярны или равны нулюДаны векторы a (3;4) и b (m;2). При каком значении m эти векторы перпендикулярныДаны векторы a(1; 0) и b (1;1). Найдите такое число λ, чтобы вектор a + λb был перпендикулярен вектору a.Докажите, что если a и b — единичные неколлинеарные векторы, то векторы a + b и a - b отличны от нуля и перпендикулярныДокажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.Даны стороны треугольника a, b, c. Найдите его медианы ma, mb, mc.Докажите, что геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний от которых до двух данных точек постоянна, есть окружность с центром в середине отрезка, соединяющего данные точки.Векторы a + b и a–b перпендикулярны. Докажите что |a|=|b|Докажите с помощью векторов, что диагонали ромба перпендикулярны.Даны четыре точки A (1;1), B (2;3), C (0;4), D (-1;2). Докажите, что четырехугольник ABCD прямоугольник.Даны четыре точки A (0; 0), B (1;1), C (0;2), D (-1;1). Докажите, что четырехугольник ABCD квадратСреди векторов a(-3/5; 4/3), b(2/3; 2/3), c(0; -1), d(3/5; -4/5) найдите единичные и укажите, какие из них коллинеарны.Найдите единичный вектор e, коллинеарный вектору a (6;8) и одинаково с ним направленный.Даны координатные векторы e1(1; 0) и e2 (0;1). Чему равны координаты вектора 2e1 -3e2