Задачи на тему Интегралы движения, преобразование Рауса, канонические уравнения Гамильтона, уравнения Якоби - Гамильтона, принцип Гамильтона - Остроградского

Предмет Теоретическая механика
Из пособия Решебник Мещерский

49.1 Трубка AB вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси CD, составляя с ней угол α. В трубке находится пружина жесткости c, один конец которой укреплен в точке A; ко второму концу пружины прикреплено тело M массы m, скользящее без трения внутри трубки. В недеформированном состоянии длина пружины равна AO=l. Приняв за обобщенную координату расстояние x от тела M до точки O, определить кинетическую энергию T тела M и обобщенный интеграл энергии.
РЕШЕНИЕ

49.2 Найти первые интегралы движения сферического маятника длины l, положение которого определяется углами θ и ψ.
РЕШЕНИЕ

49.3 Гироскопический тахометр установлен на платформе, вращающейся с постоянной угловой скоростью u вокруг оси ζ. Определить первые интегралы движения, если коэффициент жесткости спиральной пружины равен c, моменты инерции гироскопа относительно главных центральных осей x, y, z соответственно равны A, B и C, причем B=A; силы трения на оси z собственного вращения гироскопа уравновешиваются моментом, создаваемым статором электромотора, приводящим во вращение гироскоп; силами трения на оси прецессии y пренебречь.
РЕШЕНИЕ

49.4 Материальная точка M соединена с помощью стержня OM длины l с плоским шарниром O, горизонтальная ось которого вращается вокруг вертикали с постоянной угловой скоростью ω. Определить условие устойчивости нижнего вертикального положения маятника, период его малых колебаний при выведении его из этого положения и обобщенный интеграл энергии. Массой стержня пренебречь.
РЕШЕНИЕ

49.5 Уравновешенный гироскоп в кардановом подвесе движется по инерции. Определить кинетическую энергию системы и первые интегралы уравнений движения, если момент инерции внешней рамки относительно неподвижной оси вращения ξ равен Jξ, моменты инерции внутренней рамки относительно главных центральных осей x, y, z равны J x, J y, J z, а соответствующие моменты инерции гироскопа Jx, Jy и Jz (Jx=Jy).
РЕШЕНИЕ

49.6 Гироскоп установлен в кардановом подвесе. Вокруг осей ξ и у вращения рамок подвеса действуют моменты внешних сил Mξ и Му. Игнорируя циклическую координату φ, найти 1) дифференциальные уравнения движения для координат φ и θ, 2) гироскопические члены. (См. рисунок к задаче 49.5)
РЕШЕНИЕ

49.7 Составить функцию Гамильтона и канонические уравнения движения для математического маятника массы m и длины l, положение которого определяется углом φ отклонения его от вертикали. Проверить, что полученные уравнения эквивалентны обычному дифференциальному уравнению движения математического маятника.
РЕШЕНИЕ

49.8 Материальная точка массы m подвешена с помощью стержня длины l к плоскому шарниру, горизонтальная ось которого вращается вокруг вертикали с постоянной угловой скоростью ω (см. рисунок к задаче 49.4). Составить функцию Гамильтона и канонические уравнения движения. Массу стержня не учитывать.
РЕШЕНИЕ

49.9 Вертикальное положение оси симметрии волчка, вращающегося относительно неподвижной точки O под действием силы тяжести, определяется углами α и β. Исключив циклическую координату φ(угол собственного вращения), составить для углов α и β функции Рауса и Гамильтона. Масса волчка равна m, расстояние от его центра масс до точки O равно l, момент инерции относительно оси симметрии z равен C, а относительно осей x и у равен A.
РЕШЕНИЕ

49.10 Пользуясь результатами, полученными при решении предыдущей задачи, составить для канонических переменных Гамильтона дифференциальные уравнения малых колебаний волчка около верхнего вертикального положения.
РЕШЕНИЕ

49.11 Положение оси симметрии z волчка, движущегося относительно неподвижной точки O под действием силы тяжести, определяется углами Эйлера, углом прецессии ψ и углом нутации θ. Составить функцию Гамильтона для углов ψ, θ и φ (угол собственного вращения) и соответствующих импульсов, если m масса волчка, l расстояние от его центра масс до точки O, C момент инерции относительно оси z, A момент инерции относительно любой оси, лежащей в экваториальной плоскости, проходящей через точку O.
РЕШЕНИЕ

49.12 В условиях предыдущей задачи составить канонические уравнения движения волчка.
РЕШЕНИЕ

49.13 Свободная точка единичной массы движется в вертикальной плоскости xy под действием силы тяжести. Составить дифференциальное уравнение в частных производных Якоби Гамильтона и найти его полный интеграл (ось y направлена вертикально вверх).
РЕШЕНИЕ

49.14 Пользуясь результатами, полученными при решении предыдущей задачи, и свойствами полного интеграла уравнения Якоби Гамильтона, найти первые интегралы уравнений движения точки.
РЕШЕНИЕ

49.15 Физический маятник массы M вращается вокруг неподвижной горизонтальной оси. Момент инерции маятника относительно этой оси равен J, расстояние от центра масс маятника до оси равно l. Составить дифференциальное уравнение Якоби Гамильтона, найти его полный интеграл и первые интегралы движения маятника (нулевой уровень потенциальной энергии взять на уровне оси маятника).
РЕШЕНИЕ

49.16 Движение волчка, имеющего одну неподвижную точку O, определяется углами Эйлера ψ, θ и φ. Пользуясь результатами решения задачи 49.11, составить уравнение в частных производных Якоби Гамильтона и найти полный интеграл его.
РЕШЕНИЕ

49.17 Концы струны закреплены в неподвижных точках А и B, расстояние между которыми равно l. Считая, что натяжение Т струны одинаково во всех точках, определить действие по Гамильтону для малых колебаний струны. Предполагается, что колебания происходят в одной вертикальной плоскости xy и что на струну действуют только силы натяжения, линейная плотность струны равна ρ.
РЕШЕНИЕ

49.18 Пользуясь принципом Гамильтона-Остроградского и результатами решения предыдущей задачи, составить дифференциальное уравнение колебаний струны.
РЕШЕНИЕ

49.19 Абсолютно гибкая однородная и нерастяжимая нить длины l подвешена за один конец в точке O. Определить действие по Гамильтону для малых колебаний нити около вертикали, происходящих под действием силы тяжести. Масса единицы длины нити равна ρ.
РЕШЕНИЕ

49.20 Пользуясь принципом Гамильтона-Остроградского и результатами решения предыдущей задачи, составить дифференциальное уравнение малых колебаний подвешенной за один конец нити.
РЕШЕНИЕ

49.21. Пользуясь принципом Гамильтона-Остроградского, составить дифференциальное уравнение продольных колебаний тонкого стержня, заделанного на одном конце и с массой m на другом конце и получить граничные условия. Плотность материала стержня ρ, модуль продольной упругости E, площадь поперечного сечения F, длина l.
РЕШЕНИЕ

49.22. Составить дифференциальное уравнение крутильных колебаний стержня, заделанного на одном конце, с диском на другом конце. Плотность материала стержня ρ, модуль сдвига G, поперечное сечение -круг радиуса r, длина стержня l. Момент инерции диска J.
РЕШЕНИЕ

49.23. Пользуясь принципом Гамильтона - Остроградского, составить дифференциальное уравнение поперечных колебаний шарнирно опертой балки, а также получить граничные условия. Плотность материала балки ρ, модуль продольной упругости E, площадь поперечного сечения F, момент инерции поперечного сечения J, длина балки l.
РЕШЕНИЕ

49.24. Пользуясь принципом Гамильтона - Остроградского, получить граничные условия в задаче о поперечных колебаниях консольной балки длины l.
РЕШЕНИЕ

49.25. Пользуясь принципом Гамильтона - Остроградского, составить уравнения малых колебании системы, состоящей из консольной балки длины l и груза массы m, прикрепленного к балке и к основанию пружинами жесткости c. Плотность материала балки ρ, модуль продольной упругости E, площадь поперечного сечения F, момент инерции поперечного сечения J.
РЕШЕНИЕ