Задачи на тему Параллельность прямых и плоскостей

Предмет Геометрия
Из пособия Решебник Погорелов, 10 класс

§ 16. Параллельность прямых и плоскостей.
Задачи из: решебник Погорелов 10 класс, 2001 г.

1. Докажите, что если прямые AB и CD скрещивающиеся, то прямые AC и BD тоже скрещивающиеся.
РЕШЕНИЕ

2. Можно ли через точку C, не принадлежащую скрещивающимся прямым a и b, провести две различные прямые, каждая из которых пересекает прямые a и b? Объясните ответ.
РЕШЕНИЕ

3. Докажите, что все прямые, пересекающие две данные параллельные прямые, лежат в одной плоскости.
РЕШЕНИЕ

4. Прямые a и b пересекаются. Докажите, что все прямые, параллельные прямой b и пересекающие прямую a, лежат в одной плоскости.
РЕШЕНИЕ

5. Через концы отрезка AB и его середину M проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках A1 B1 и M1. Найдите длину отрезка MM1, если отрезок AB не пересекает плоскость и если: 1) AA1 = 5 м, BB1 = 7 м; 2) AA1 = 3,6 дм, BB1=4.8 дм. 3) AA1 = 8.3 см. BB1= 4.1 см 4) AA1 = a. BB1=b.
РЕШЕНИЕ

6. Решите предыдущую задачу при условии, что отрезок AB пересекает плоскость.
РЕШЕНИЕ

7. Через конец А отрезка AB проведена плоскость. Через конец В и точку С этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках B1 и C1 Найдите длину отрезка BB1 если:1) CC1 = 15 см, AC : BC = 2 : 3;2) CC1 = 8,1 см, AB : AC = 11:9 3)AB = 6 см, AC:CC1 = 2:5: 4) AC = а. AC = b: CC1 = с.
РЕШЕНИЕ

8. Даны параллелограмм и не пересекающая его плоскость. Через вершины параллелограмма проведены параллельные прямые, пересекающие данную плоскость в точках A1, B1, C1 и D1. Найдите длину отрезка DD1, если: 1) AA1 = 2 м, BB1 = 3 м, CC1 = 8 м; 2) AA1= 4 м BB1= 3 м CC1 = 1 м; 3) AA1=a BB1=b CC1= c.
РЕШЕНИЕ

9. Прямые a и b не лежат в одной плоскости. Можно ли провести прямую с, параллельную прямым a и b?
РЕШЕНИЕ

10. Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков AB и BC, параллельна прямой, проходящей через середины отрезков AD и CD.
РЕШЕНИЕ

11. Докажите, что середины сторон пространственного четырехугольника являются вершинами параллелограмма (вершины пространственного четырехугольника не лежат в одной плоскости).
РЕШЕНИЕ

12. Даны четыре точки A, B, C, D, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что прямые, соединяющие середины отрезков AB и CD, AC и BD, AD и BC, пересекаются в одной точке.
РЕШЕНИЕ

13. Дан треугольник ABC. Плоскость, параллельная прямой AB, пересекает сторону AC этого треугольника в точке A1, а сторону BC в точке B1. Найдите длину отрезка A1B1 если: 1) AB = 15 см, AA1: АС = 2:3: 2) AB = 8 см AA1:A1C = 5:3; 3) B1C = 10 см. AB : BC = 4:5: 4) AA1 = а. AB = b. A1C = с.
РЕШЕНИЕ

14. Через данную точку проведите прямую, параллельную каждой из двух данных пересекающихся плоскостей.
РЕШЕНИЕ

15. Докажите, что если плоскость пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
РЕШЕНИЕ

16. Докажите, что через любую из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой.
РЕШЕНИЕ

17. Докажите, что если две плоскости, пересекающиеся по прямой a, пересекают плоскость α по параллельным прямым, то прямая а параллельна плоскости α.
РЕШЕНИЕ

18. Докажите, что если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую.
РЕШЕНИЕ

19. Докажите, что через две скрещивающиеся прямые можно провести параллельные плоскости.
РЕШЕНИЕ

20. Через данную точку пространства проведите прямую, пересекающую каждую из двух скрещивающихся прямых. Всегда ли это возможно?
РЕШЕНИЕ

21. Докажите, что геометрическое место середины отрезков с концами на двух скрещивающихся прямых есть плоскость, параллельная этим прямым.
РЕШЕНИЕ

22. Даны четыре точки A, B, C, D, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что любая плоскость, параллельная прямым AB и CD, пересекает прямые AC, AD, BD и BC в вершинах параллелограмма.
РЕШЕНИЕ

23. Плоскости α и β параллельны плоскости γ Могут ли плоскости α и β пересекаться?
РЕШЕНИЕ

24. Плоскости α и β пересекаются. Докажите, что любая плоскость γ пересекает хотя бы одну из плоскостей α, β.
РЕШЕНИЕ

25. Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку параллельно данной плоскости, лежат в одной плоскости.
РЕШЕНИЕ

26. Через данную точку проведите плоскость, параллельную каждой из двух пересекающихся прямых. Всегда ли это возможно?
РЕШЕНИЕ

27. Параллелограммы ABCD и ABC1D1 лежат в разных плоскостях. Докажите, что четырехугольник, CDD1C1 тоже параллелограмм.
РЕШЕНИЕ

28. Через вершины параллелограмма ABCD, лежащего в одной из двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках A1, B1, C1, D1. Докажите, что четырехугольник A1B1C1D1 тоже параллелограмм.
РЕШЕНИЕ

29. Через вершины треугольника ABC, лежащего в одной из двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках A1, B1, C1. Докажите равенство треугольников ABC и A1B1C1.
РЕШЕНИЕ

30. Три прямые, проходящие через одну точку, пересекают данную плоскость в точках A, B, C, а параллельную ей плоскость в точках A1, B1, C1. Докажите подобие треугольников ABC и A1B1C1.
РЕШЕНИЕ

31. Докажите, что если четыре прямые, проходящие через точку А, пересекают плоскость α в вершинах параллелограмма, то они пересекают любую плоскость, параллельную а и не проходящую через А, тоже в вершинах параллелограмма.
РЕШЕНИЕ

32. Даны две параллельные плоскости. Через точки A и B одной из этих параллельных плоскостей проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках A1 и B1. Чему равен отрезок A1B1, если AB = a
РЕШЕНИЕ

33. Даны две параллельные плоскости α1 и α2 и точка А, не лежащая ни в одной из этих плоскостей. Через точку А проведена произвольная прямая. Пусть X1 и X2 точки пересечения ее с плоскостями α1 и α2. Докажите, что отношение длины отрезков AX1 : AX2 не зависит от взятой прямой.
РЕШЕНИЕ

34. Точка А лежит вне плоскости α, X произвольная точка плоскости α, X1 точка отрезка AX, делящая его в отношении m : n. Докажите, что геометрическое место точек X1 есть плоскость, по параллельная плоскости α.
РЕШЕНИЕ

35. Даны три параллельные плоскости α1, α2, α3. Пусть X1, X2, X3 точки пересечения этих плоскостей с произвольной прямой. Докажите, что отношение длин отрезков X1X2 : X2X3 не зависит от прямой, т.е. одинаково для любых двух прямых.
РЕШЕНИЕ

36. Даны четыре параллельные прямые. Докажите, что если какая-нибудь плоскость пересекает эти прямые в вершинах параллелограмма, то любая плоскость, не параллельная этим прямым, пересекает их в вершинах некоторого параллелограмма.
РЕШЕНИЕ

37. Дана параллельная проекция треугольника. Как построить проекции медиан этого треугольника?
РЕШЕНИЕ

38. Дана параллельная проекция треугольника. Чем изобразится проекция средней линии треугольника?
РЕШЕНИЕ

39. Может ли при параллельном проектировании параллелограмма получиться трапеция? Объясните ответ.
РЕШЕНИЕ

40. Может ли проекция параллелограмма при параллельном проектировании быть квадратом?
РЕШЕНИЕ

41. Докажите, что параллельная проекция центрально-симметричной фигуры также является центрально-симметричной фигурой.
РЕШЕНИЕ

42. Дана параллельная проекция окружности и ее диаметра. Как построить проекцию перпендикулярного диаметра?
РЕШЕНИЕ