Шарик A, находящийся в сосуде с жидкостью и прикрепленный к концу стержня AB длины l, приводится во вращение вокруг вертикальной оси O1O2 с начальной угловой скоростью ω0. Сила сопротивления жидкости пропорциональна угловой скорости вращения: R=αmω, где m — масса шарика, α — коэффициент пропорциональности. Определить, через какой промежуток времени угловая скорость вращения станет в два раза меньше начальной, а также число оборотов n, которое сделает стержень с шариком за этот промежуток времени. Массу шарика считать сосредоточенной в его центре, массой стержня пренебречь.
Определить, с какой угловой скоростью ω упадет на землю спиленное дерево массы M, если его центр масс C расположен на расстоянии h от основания, а силы сопротивления воздуха создают момент сопротивления mс, причем mсz=-αφ2, где α=const. Момент инерции дерева относительно оси z, совпадающей с осью, вокруг которой оно поворачивается при падении, равен J
Вал радиуса r приводится во вращательное движение вокруг горизонтальной оси гирей, подвешенной посредством троса. Для того чтобы угловая скорость вала через некоторое время после начала движения имела величину, близкую к постоянной, с валом соединены n одинаковых пластин; сопротивление воздуха, испытываемое пластиной, приводится к силе, нормальной к пластине, приложенной на расстоянии R от оси вала и пропорциональной квадрату ее угловой скорости, причем коэффициент пропорциональности равен k. Масса гири m, момент инерции всех вращающихся частей относительно оси вращения равен J; массой троса и трением в опорах пренебречь. Определить угловую скорость ω вала, предполагая, что в начальный момент она равна нулю.
Упругую проволоку, на которой подвешен однородный шар с радиусом r и массой m, закручивают на угол φ0, а затем предоставляют ей свободно раскручиваться. Момент, необходимый для закручивания проволоки на один радиан, равен c. Определить движение, пренебрегая сопротивлением воздуха и считая момент силы упругости закрученной проволоки пропорциональным углу кручения φ.
Часовой балансир A может вращаться вокруг оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через центр тяжести O, имея относительно этой оси момент инерции J. Балансир приводится в движение спиральной пружиной, один конец которой с ним скреплен, а другой присоединен к неподвижному корпусу часов. При повороте балансира возникает момент сил упругости пружины, пропорциональный углу поворота. Момент, необходимый для закручивания пружины на один радиан, равен c. Определить закон движения балансира, если в начальный момент в условиях отсутствия сил упругости балансиру сообщили начальную угловую скорость ω0.
Для определения момента инерции Jz тела A относительно вертикальной оси Oz его прикрепили к упругому вертикальному стержню OO1, закрутили этот стержень, повернув тело A вокруг оси Oz на малый угол φ0, и отпустили; период возникших колебаний оказался равным T1, момент сил упругости относительно оси Oz равен mz=-cφ. Для определения коэффициента c проделали второй опыт: на стержень в точке O был надет однородный круглый диск радиуса r массы M, и тогда период колебаний оказался равным T2. Определить момент инерции тела Jz.
Решить предыдущую задачу в предположении, что для определения коэффициента c второй опыт проделывают иначе: однородный круглый диск массы M и радиуса r прикрепляется к телу, момент инерции которого требуется определить. Найти момент инерции тела Jz, если период колебаний тела τ1, а период колебаний тела с прикрепленным к нему диском τ2.
Бифилярный подвес состоит из однородного стержня AB длины 2a, подвешенного горизонтально посредством двух вертикальных нитей длины l, отстоящих друг от друга на расстоянии 2b. Определить период крутильных колебаний стержня, полагая, что стержень в течение всего времени движения остается в горизонтальном положении и натяжение каждой из нитей равно половине веса стержня.
Диск, подвешенный к упругой проволоке, совершает крутильные колебания в жидкости. Момент инерции диска относительно оси проволоки равен J. Момент, необходимый для закручивания проволоки на один радиан, равен c. Момент сопротивления движению равен αSω, где α — коэффициент вязкости жидкости, S — сумма площадей верхнего и нижнего оснований диска, ω — угловая скорость диска. Определить период колебаний диска в жидкости.
Твердое тело, подвешенное на упругой проволоке, совершает крутильные колебания под действием внешнего момента mв, причем mвz=m1sin ωt+m3sin Зωt, где m1, m3 и ω — постоянные, а z — ось, направленная вдоль проволоки. Момент сил упругости проволоки равен mупр, причем mупр z=-cφ, где c — коэффициент упругости, а φ — угол закручивания. Определить закон вынужденных крутильных колебаний твердого тела, если его момент инерции относительно оси z равен Jz. Силами сопротивления движению пренебречь. Считать, что √(c/Jz)≠ω и √(c/Jz)≠3ω.
Решить предыдущую задачу с учетом момента сил сопротивления mс, пропорционального угловой скорости твердого тела, причем mсz=-βφ , где β — постоянный коэффициент.
Диск D, радиус которого равен R, а масса — М, подвешен на упругом стержне AB, имеющем жесткость на кручение c. Конец стержня B вращается по закону φB=ω0t+Ф sin pt, где ω0, Ф, p — постоянные величины. Пренебрегая силами сопротивления, определить движение диска D при отсутствии резонанса и при резонансе. В начальный момент диск был неподвижен, а стержень недеформирован
Твердое тело, подвешенное к упругой проволоке, совершает крутильные колебания в жидкости. Момент инерции тела относительно оси проволоки z равен Jz. Момент сил упругости проволоки mупр z=-cφ, где c — коэффициент упругости, а φ — угол закручивания; момент сопротивления движению mсz=-βφ , где φ — угловая скорость твердого тела, а β>0. В начальный момент твердое тело было закручено на угол φ0 и отпущено без начальной скорости. Найти уравнение движения твердого тела, если β/(2Jz)<√(c/Jz).
Однородный круглый диск массы M и радиуса R, подвешенный к упругой проволоке, может совершать крутильные колебания в жидкости. Момент сил упругости проволоки mупр z=-cφ, где ось z проведена вдоль проволоки, c — коэффициент упругости, а φ — угол закручивания; момент сопротивления движению mсz=-βφ , где φ — угловая скорость твердого тела, а β>0. В начальный момент диск был закручен на угол φ0 и отпущен без начальной скорости. Найти уравнение движения диска, если β/(MR2) = √(2c/(MR2)); β/(MR2) > √(2c/(MR2))
Твердое тело, подвешенное на упругой проволоке, совершает крутильные колебания под действием внешнего момента mвz=m0 cos pt, где m0 и p — положительные постоянные, а z — ось, направленная вдоль проволоки. Момент сил упругости проволоки mупр z=-cφ, где c — коэффициент упругости, а φ — угол закручивания. Момент инерции твердого тела относительно оси z равен Jz. Силами сопротивления движению пренебречь. Определить уравнение движения твердого тела в случаях: √(c/Jz)≠p; √(c/Jz)=p, если в начальный момент при ненапряженной проволоке твердому телу была сообщена угловая скорость ω0.
Однородный круглый диск массы M и радиуса R, подвешенный на упругой проволоке, совершает резонансные крутильные колебания в жидкости под действием внешнего момента mвz=m0 sin pt, где m0 и p — положительные постоянные, а z — ось, направленная вдоль проволоки; момент сил упругости проволоки mупр z=-cφ, где c — коэффициент упругости, а φ — угол закручивания; момент сопротивления движению mсz=-βφ , где φ — угловая скорость диска, а β>0. Найти уравнение вынужденных резонансных колебаний диска.
Для определения коэффициента вязкости жидкости наблюдают колебания диска, подвешенного к упругой проволоке в жидкости. К диску приложен внешний момент, равный M0 sin pt (M0=const), при котором наблюдается явление резонанса. Момент сопротивления движению диска в жидкости равен αSω, где α — коэффициент вязкости жидкости, S — сумма площадей верхнего и нижнего оснований диска, ω — угловая скорость диска. Определить коэффициент α вязкости жидкости, если амплитуда вынужденных колебаний диска при резонансе равна φ0.
При полете снаряда вращение его вокруг оси симметрии замедляется действием момента силы сопротивления воздуха, равного kω, где ω — угловая скорость вращения снаряда, k — постоянный коэффициент пропорциональности. Определить закон убывания угловой скорости, если начальная угловая скорость равна ω0, а момент инерции снаряда относительно оси симметрии равен J.
Для определения ускорения силы тяжести пользуются оборотным маятником, который представляет собой стержень, снабженный двумя трехгранными ножами A и B. Один из ножей неподвижен, а второй может перемещаться вдоль стержня. Подвешивая стержень то на один, то на другой нож и меняя расстояние AB между ними, можно добиться равенства периодов качаний маятника вокруг каждого из ножей. Чему равно ускорение силы тяжести, если расстояние между ножами, при котором периоды качаний маятника равны, AB=l, а период качаний равен T?
Два твердых тела могут качаться вокруг одной и той же горизонтальной оси как отдельно друг от друга, так и скрепленные вместе. Определить приведенную длину сложного маятника, если массы твердых тел M1 и M2, расстояния от их центров тяжести до общей оси вращения a1 и a2, а приведенные длины при отдельном качании каждого l1 и l2.
Часть прибора представляет собой однородный стержень длины L, свободно подвешенный одним концом на горизонтальной оси O. Для регистрации качаний стержня к его нижнему концу приклеивается небольшое зеркало массы m. При этом, чтобы частота колебаний стержня не изменилась, на нем в другом месте укрепляется груз A. Рассматривая зеркало и груз как материальные точки, найти минимальную массу, которую должен иметь груз A. На каком расстоянии от оси O его следует прикрепить?
Для регулирования хода часов к маятнику массы M1, приведенной длины l с расстоянием a от его центра тяжести до оси подвеса прикрепляют добавочный груз массы M2 на расстоянии x от оси подвеса. Принимая добавочный груз за материальную точку, определить изменение Δl приведенной длины маятника при данных значениях M2 и x и значение x=x1, при котором заданное изменение приведенной длины маятника достигается при помощи добавочного груза наименьшей массы.
Для определения момента инерции J данного тела относительно некоторой оси AB, проходящей через центр масс G тела, его подвесили жестко скрепленными с ним стержнями AD и BE, свободно насаженными на неподвижную горизонтальную ось DE, так, что ось AB параллельна DE; приведя затем тело в колебательное движение, определили продолжительность T одного размаха. Как велик момент инерции J, если масса тела M и расстояние между осями AB и DE равно h? Массами стержней пренебречь.
Для определения момента инерции шатуна его заставляют качаться вокруг горизонтальной оси, продев через втулку цапфы крейцкопфа тонкий цилиндрический стержень. Продолжительность ста размахов 100T=100 c, где T — половина периода. Затем для определения расстояния AC=h центра масс C от центра A отверстия шатун положили горизонтально, подвесив его в точке A к талям и оперев точкой B на платформу десятичных весов; давление на нее оказалось при этом равным P. Определить центральный момент инерции J шатуна относительно оси, перпендикулярной плоскости рисунка, имея следующие данные: масса шатуна M, расстояние между вертикалями, проведенными через точки A и B равно l, радиус цапфы крейцкопфа r.
Маятник состоит из стержня AB с прикрепленным к нему шаром массы m и радиуса r, центр которого C находится на продолжении стержня. Определить, пренебрегая массой стержня, в какой точке стержня нужно поместить ось подвеса для того, чтобы продолжительность одного размаха при малых качаниях имела данную величину T.
Маятник состоит из стержня с двумя закрепленными на нем грузами, расстояние между которыми равно l; верхний груз имеет массу m1, нижний m2. Определить, на каком расстоянии x от нижнего груза нужно поместить ось подвеса для того, чтобы период малых качаний маятника был наименьшим; массой стержня пренебречь и грузы считать материальными точками.
Круглый цилиндр массы M, длины 2l и радиуса r=l/6 качается около оси O, перпендикулярной плоскости рисунка. Как изменится период качаний цилиндра, если прикрепить к нему на расстоянии OK=85l/72 точечную массу m?
Найти уравнение малых колебаний однородного диска массы M и радиуса r, совершающего колебания вокруг горизонтальной оси Oz, перпендикулярной его плоскости и отстоящей от центра масс C диска на расстоянии OC=r/2. К диску приложен вращающий момент mвр, причем mвр z=m0 sin pt, где m0 и p — постоянные. В начальный момент диску, находившемуся в нижнем положении, была сообщена угловая скорость ω0. Силами сопротивления пренебречь. Считая колебания малыми, принять sin φ≈φ.
В сейсмографах — приборах для регистрации землетрясений — применяется физический маятник, ось подвеса которого образует угол α с вертикалью. Расстояние от оси подвеса до центра масс маятника равно a, момент инерции маятника относительно оси, проходящей через его центр масс параллельно оси подвеса, равен JC, масса маятника равна M. Определить период колебаний маятника
В вибрографе для записи горизонтальных колебаний фундаментов машин маятник OA, состоящий из рычага с грузом на конце, может качаться вокруг своей горизонтальной оси, удерживаясь в вертикальном положении устойчивого равновесия собственной массой и спиральной пружиной. Определить период собственных колебаний маятника при малых углах отклонения, если максимальный статический момент силы тяжести относительно его оси вращения равен Mgh, момент инерции относительно этой оси Jz, коэффициент жесткости пружины с сопротивлением, пропорциональным углу закручивания, равен c; при равновесном положении маятника пружина находится в ненапряженном состоянии. Сопротивлениями пренебречь.
Виброграф в предыдущей задаче закреплен на фундаменте, совершающем горизонтальные гармонические колебания по закону x=a sin ωt. Определить амплитуду a колебаний фундамента, если амплитуда вынужденных колебаний маятника вибрографа φ0
При пуске в ход электрической лебедки к барабану A приложен вращающий момент mвр, пропорциональный времени, причем mвр=at, где a — постоянная. Груз B массы M1 поднимается посредством каната, навитого на барабан A радиуса r и массы M2. Определить угловую скорость барабана, считая его сплошным цилиндром. В начальный момент лебедка находилась в покое.