К окружности диска радиуса R шарнирно присоединен рычаг, несущий на своих концах сосредоточенные массы m1 и m2. Расстояния масс от шарнира соответственно равны l1 и l2. Диск вращается около вертикальной оси, перпендикулярной его плоскости, с угловой скоростью ω. Составить уравнение движения рычага и определить его относительное положение равновесия. Массой рычага пренебречь. Ось вращения рычага параллельна оси вращения диска. Решить также задачу, если диск вращается в вертикальной плоскости с учетом силы тяжести.
Тонкий диск массы M может своей плоскостью скользить без трения по горизонтальной плоскости. По диску, верхняя поверхность которого шероховата, движется материальная точка массы т: Уравнения относительного движения точки в декартовых координатах x и y, связанных с диском и имеющих начало в его центре масс, заданы в виде x(t), y(t). Момент инерции диска относительно его центра масс равен J. Определить закон изменения угловой скорости диска. В начальном положении диск неподвижен.
По диску, описанному в предыдущей задаче, вдоль окружности радиуса R движется материальная точка с относительной скоростью v = at. Найти закон движения диска.
Тело массы m может вращаться вокруг горизонтальной оси 0 102, которая в свою очередь вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси OC. Центр масс тела G лежит на расстоянии l от точки O3 на прямой, перпендикулярной O1O2. Предполагая, что оси O1O2 и O3G являются главными осями инерции тела в точке O3, составить уравнение движения. Моменты инерции тела относительно главных осей равны A, B, C.
Решить предыдущую задачу, заменив грузы M1 и М2 катками массы m и радиуса r каждый. Катки считать сплошными однородными круглыми дисками. Коэффициент трения качения катков о наклонные плоскости равен fк. Нити закреплены на осях катков.
По неподвижной призме A, расположенной под углом α к горизонту, скользит призма В массы m2. К призме B, посредством цилиндрического шарнира O и спиральной пружины с коэффициентом жесткости c, присоединен тонкий однородный стержень OD массы m1 и длины l. Стержень совершает колебания вокруг оси O, перпендикулярной плоскости рисунка. Положения призмы В и стержня OD определены посредством координат s и р. Написать дифференциальные уравнения движения материальной
Пользуясь результатами, полученными при решении предыдущей задачи, составить дифференциальное уравнение малых колебании цилиндра, если движение началось из состояния покоя и при t = 0, ρ = ρ0, φ = φ0
Определить движение системы, состоящей из двух масс m1 и m2, насаженных на гладкий горизонтальный стержень (ось Ох), массы связаны пружиной жесткости с и могут двигаться поступательно вдоль стержня; расстояние между центрами масс при ненапряженной пружине равно l; начальное состояние системы при t = 0 определяется следующими значениями скоростей и координат центров масс: x1 = 0, x1 = u0, x2 = l, x2 = 0
Система, состоящая из двух одинаковых колес радиуса а каждое, могущих независимо вращаться вокруг общей нормальной к ним оси O1O2 длины l, катится по горизонтальном плоскости. Колеса связаны пружиной жесткости c, работающей на кручение (упругий торсион). Масса каждого колеса М; С- момент инерции колеса относительно оси вращения, А — момент инерции колеса относительно диаметра. Составить уравнения движения системы и определить движение, отвечающее начальным условиям φ1=0, φ1 =0, φ2 = 0, φ2 = ω (φ1, φ2 — углы поворота колес). Массой оси пренебречь.
Трубка AB вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси CD, составляя с ней угол α. В трубке находится пружина жесткости c, один конец которой укреплен в точке A; ко второму концу пружины прикреплено тело M массы m, скользящее без трения внутри трубки. В недеформированном состоянии длина пружины равна AO=l. Приняв за обобщенную координату расстояние x от тела M до точки O, определить кинетическую энергию T тела M и обобщенный интеграл энергии.
Гироскопический тахометр установлен на платформе, вращающейся с постоянной угловой скоростью вокруг оси ζ. Определить первые интегралы движения, если коэффициент жесткости спиральной пружины равен c, моменты инерции гироскопа относительно главных центральных осей x, y, z соответственно равны A, B и C, причем B=A; силы трения на оси z собственного вращения гироскопа уравновешиваются моментом, создаваемым статором электромотора, приводящим во вращение гироскоп; силами трения на оси прецессии y пренебречь.
Материальная точка M соединена с помощью стержня OM длины l с плоским шарниром O, горизонтальная ось которого вращается вокруг вертикали с постоянной угловой скоростью ω. Определить условие устойчивости нижнего вертикального положения маятника, период его малых колебаний при выведении его из этого положения и обобщенный интеграл энергии. Массой стержня пренебречь.
Уравновешенный гироскоп в кардановом подвесе движется по инерции. Определить кинетическую энергию системы и первые интегралы уравнений движения, если момент инерции внешней рамки относительно неподвижной оси вращения ξ равен Jξ, моменты инерции внутренней рамки относительно главных центральных осей x, y, z равны J x, J y, J z, а гироскопа - Jx, Jy и Jz соответственно (Jx=Jy).
Гироскоп установлен в кардановом подвесе. Вокруг осей ξ и у вращения рамок подвеса действуют моменты внешних сил Mξ и Му. Игнорируя циклическую координату φ, найти дифференциальные уравнения движения для координат φ и θ гироскопические члены.
Составить функцию Гамильтона и канонические уравнения движения для математического маятника массы m и длины l, положение которого определяется углом φ отклонения его от вертикали. Проверить, что полученные уравнения эквивалентны обычному дифференциальному уравнению движения математического маятника.
Материальная точка массы m подвешена с помощью стержня длины l к плоскому шарниру, горизонтальная ось которого вращается вокруг вертикали с постоянной угловой скоростью. Составить функцию Гамильтона и канонические уравнения движения. Массу стержня не учитывать.
Вертикальное положение оси симметрии волчка, вращающегося относительно неподвижной точки O под действием силы тяжести, определяется углами α и β. Исключив циклическую координату φ(угол собственного вращения), составить для углов α и β функции Рауса и Гамильтона. Масса волчка равна m, расстояние от его центра масс до точки O равно l, момент инерции относительно оси симметрии z равен C, а относительно осей x и у равен A.
Положение оси симметрии z волчка, движущегося относительно неподвижной точки O под действием силы тяжести, определяется углами Эйлера, углом прецессии ψ и углом нутации θ. Составить функцию Гамильтона для углов ψ, θ и φ (угол собственного вращения) и соответствующих импульсов, если m — масса волчка, l — расстояние от его центра масс до точки O, C — момент инерции относительно оси z, A — момент инерции относительно любой оси, лежащей в экваториальной плоскости, проходящей через точку O.
Свободная точка единичной массы движется в вертикальной плоскости xy под действием силы тяжести. Составить дифференциальное уравнение в частных производных Якоби - Гамильтона и найти его полный интеграл.
Пользуясь результатами, полученными при решении предыдущей задачи, и свойствами полного интеграла уравнения Якоби — Гамильтона, найти первые интегралы уравнений движения точки.
Физический маятник массы M вращается вокруг неподвижной горизонтальной оси. Момент инерции маятника относительно этой оси равен J, расстояние от центра масс маятника до оси равно l. Составить дифференциальное уравнение Якоби — Гамильтона, найти его полный интеграл и первые интегралы движения маятника. Нулевой уровень потенциальной энергии взять на уровне его оси.
Движение волчка, имеющего одну неподвижную точку O, определяется углами Эйлера. Пользуясь результатом задачи 49.11, составить уравнение в частных производных Якоби — Гамильтона и найти полный интеграл его.
Концы струны закреплены в неподвижных точках А и B, расстояние между которыми равно l. Считая, что натяжение Т струны одинаково во всех точках, определить действие по Гамильтону для малых колебаний струны. Предполагается, что колебания происходят в одной вертикальной плоскости xy и что на струну действуют только силы натяжения, линейная плотность струны равна ρ.
Абсолютно гибкая однородная и нерастяжимая нить длины l подвешена за один конец в точке O. Определить действие по Гамильтону для малых колебаний нити около вертикали, происходящих под действием силы тяжести. Масса единицы длины нити равна ρ.
Пользуясь принципом Гамильтона-Остроградского и результатами решения предыдущей задачи, составить дифференциальное уравнение малых колебаний подвешенной за один конец нити.
Пользуясь принципом Гамильтона-Остроградского, составить дифференциальное уравнение продольных колебаний тонкого стержня, заделанного на одном конце и с массой m на другом конце и получить граничные условия. Плотность материала стержня ρ, модуль продольной упругости E, площадь поперечного сечения F, длина l.
Составить дифференциальное уравнение крутильных колебаний стержня, заделанного на одном конце, с диском на другом конце. Плотность материала стержня ρ, модуль сдвига G, поперечное сечение -круг радиуса r, длина стержня l. Момент инерции диска J.
Пользуясь принципом Гамильтона - Остроградского, составить дифференциальное уравнение поперечных колебаний шарнирно опертой балки, а также получить граничные условия. Плотность материала балки ρ, модуль продольной упругости E, площадь поперечного сечения F, момент инерции поперечного сечения J, длина балки l.
Пользуясь принципом Гамильтона - Остроградского, составить уравнения малых колебании системы, состоящей из консольной балки длины l и груза массы m, прикрепленного к балке и к основанию пружинами жесткости c. Плотность материала балки ρ, модуль продольной упругости E, площадь поперечного сечения F, момент инерции поперечного сечения J.
Ось вращения AB прямоугольной пластины наклонена под углом а к вертикали. Определить момент сил относительно оси AB, который нужно приложить к пластине для ее поворота на угол θ. Вес пластины P, расстояние от ее центра масс G до оси AB равно a.