В планетарном механизме колесо с осью O1 неподвижно; к рукоятке O1O3 приложен вращающий момент M; механизм расположен в горизонтальной плоскости. Определить угловое ускорение рукоятки, считая колеса однородными дисками с одинаковыми массами m и радиусами r и пренебрегая массой рукоятки.
Груз M массы 101 кг поднимает с помощью полиспаста груз M1, который вместе с подвижной обоймой имеет массу 320 кг. Всех блоков четыре, большие блоки имеют массу по 16 кг, малые — по 8 кг, радиусы больших блоков равны r, радиусы малых равны r1. Определить ускорение груза M. При определении энергии блоков предполагаем, что массы их равномерно распределены по окружности.
В машине для статического уравновешивания роторов подшипники наклонены под углом α к вертикали. Ротор, помещенный в подшипник, имеет момент инерции J (относительно своей оси) и несет неуравновешенную массу m на расстоянии r от оси. Написать дифференциальное уравнение движения ротора и определить частоту малых колебаний около положения равновесия.
Материальная точка массы m движется под влиянием силы тяжести по циклоидальной направляющей, заданной уравнением s=4a sin φ, где s - дуга, отсчитываемая от точки O, а φ - угол касательной к циклоиде с горизонтальной осью. Определить движение точки.
Составить уравнение движения маятника, состоящего из материальной точки M массы m, подвешенной на нити, навернутой на неподвижный цилиндр радиуса a. Длина свисающей в положении равновесия части нити равна l. Массой нити пренебречь.
Составить уравнение движения маятника, состоящего из материальной точки массы m, подвешенной на нити, длина которой изменяется по произвольно заданному закону l(t).
Точка подвеса маятника, состоящего из материальной точки массы m на нерастяжимой нити длины l, движется по заданному закону ξ=ξ0(t) по наклонной прямой, образующей угол α с горизонтом. Составить уравнение движения маятника.
Концы однородного тяжелого стержня AB длины 2a и массы M скользят без трения по горизонтальному и вертикальному стержням рамки, вращающейся с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной стороны. Составить уравнение движения стержня и определить положение относительного равновесия.
Материальная точка M движется под действием силы тяжести по прямолинейному стержню AB, вращающемуся с постоянной угловой скоростью ω вокруг неподвижной вертикальной оси. Стержень AB образует угол α с горизонталью. Найти закон движения точки.
Материальная точка массы m движется по круговой рамке радиуса a, которая вращается с постоянной угловой скоростью вокруг вертикального диаметра AB. Составить уравнение движения точки и определить момент, необходимый для поддержания постоянства угловой скорости.
Однородная нить, к концу которой привязан груз A массы m, огибает неподвижный блок B, охватывает подвижный блок C, поднимается вверх на неподвижный блок D и проходит параллельно горизонтальной плоскости, где к ее концу привязан груз E массы m. К оси блока C прикреплен груз K массы m1. Коэффициент трения скольжения груза E о горизонтальную плоскость равен f. При каком условии груз K будет опускаться вниз, если начальные скорости всех грузов равнялись нулю? Найти ускорение груза K. Массами блоков и нити пренебречь.
Два груза D и E массы m каждый привязаны к концам нерастяжимой нити. Эта нить от груза E идет через неподвижный блок A, затем охватывает подвижный блок B, возвращается вверх на неподвижный блок C, соосный с блоком A, проходит параллельно гладкой наклонной плоскости, где к концу нити привязан груз D. Наклонная плоскость образует угол α с горизонтом. К подвижному блоку B прикреплен груз K массы m1. Коэффициент трения скольжения груза E о горизонтальную плоскость равен f. Массами блоков и нити пренебречь. Выяснить условие, при котором груз K будет опускаться. Найти ускорение этого груза. В начальный момент скорости всех грузов равнялись нулю.
Призма A массы m скользит по гладкой боковой грани призмы B массы m1, образующей угол α с горизонтом. Определить ускорение призмы B. Трением между призмой B и горизонтальной плоскостью пренебречь.
На гладкой горизонтальной плоскости помещена треугольная призма ABC массы m, которая может скользить без трения по этой плоскости; по грани призмы AB катится без скольжения однородный круглый цилиндр массы m1. Определить ускорение призмы.
Через блоки A и B с неподвижными осями переброшен шнур, поддерживающий подвижный блок C; части шнура, не лежащие на концах, вертикальны. Блок C нагружен гирей массы m=4 кг, к концам шнура прикреплены грузы массы m1=2 кг и m2=3 кг. Определить ускорения всех трех грузов, пренебрегая массами блоков и шнура и трением на осях.
Грузы M1 и M2 одинаковой массы m движутся по двум наклонным направляющим OA и OB, расположенным в вертикальной плоскости под углами α и β к горизонту; нить, соединяющая эти грузы, идет от груза M1 через блок O, вращающийся около горизонтальной оси, охватывает подвижный шкив Q, несущий груз M массы m1, и затем через блок O1, надетый на ту же ось, что и блок O, идет к грузу M2. Блоки O1 и O соосные. Определить ускорение w груза M, пренебрегая трением, а также массами блока, шкива и нити.
Дана система из двух блоков, неподвижного A и подвижного B, и трех грузов M1, M2 и M3, подвешенных с помощью нерастяжимых нитей, как указано на рисунке. Массы грузов соответственно равны m1, m2 и m3, при этом m1Решение задачи »
Найти ускорение тележки, по платформе которой катится без скольжения круглый цилиндр, если сама тележка скатывается тоже без скольжения по плоскости, наклоненной к горизонту под углом α и параллельной платформе тележки; образующие цилиндра перпендикулярны линиям наибольшего ската платформы. Масса тележки без колес M, масса всех колес m, масса цилиндра M1, колеса считать однородными сплошными дисками.
Составить уравнения движения эллиптического маятника, состоящего из ползуна M1 массы m1, скользящего без трения по горизонтальной плоскости, и шарика M2 массы m2, соединенного с ползуном стержнем AB длины l. Стержень может вращаться вокруг оси A, связанной с ползуном и перпендикулярной плоскости рисунка. Массой стержня пренебречь. Определить период малых колебаний эллиптического маятника.
При наезде тележки A на упругий упор B начинаются колебания подвешенного на стержне груза D. Составить дифференциальные уравнения движения материальной системы, если m1 — масса тележки, m2 — масса груза, l — длина стержня, c — коэффициент жесткости пружины упора B. Массой колес и всеми силами сопротивления пренебречь. Начало отсчета оси x взять в левом конце недеформированной пружины. Определить период малых колебаний груза при отсутствии упора B. Массой стержня пренебречь.
По неподвижной призме A, расположенной под углом α к горизонту, скользит призма В массы m2. К призме B, посредством цилиндрического шарнира O и спиральной пружины с коэффициентом жесткости c, присоединен тонкий однородный стержень OD массы m1 и длины l. Стержень совершает колебания вокруг оси O, перпендикулярной плоскости рисунка. Положения призмы В и стержня OD определены посредством координат s и φ. Написать дифференциальные уравнения движения материальной системы, состоящей из призмы В и стержня OD, пренебрегая силами трения. Определить период малых колебаний стержня OD, если m1gl cos2α< 2с.
Материальная точка A массы m1 движется в вертикальной плоскости по внутренней гладкой поверхности неподвижного цилиндра радиуса l. Материальная точка B массы m2, присоединенная к точке A посредством стержня AB длины l, может колебаться вокруг оси A, перпендикулярной плоскости рисунка. Положения точек A и B определены с помощью углов α и φ, отсчитываемых от вертикали. Составить дифференциальные уравнения движения системы. Написать дифференциальные уравнения малых колебаний системы. Массой стержня AB пренебречь.
Шероховатый цилиндр массы m и радиуса r катится без скольжения по внутренней поверхности полого цилиндра массы M и радиуса R, могущего вращаться около своей горизонтально расположенной оси O. Моменты инерции цилиндров относительно своих осей равны mr2/2 и MR2. Составить уравнения движения системы и найти их первые интегралы.
Однородный диск радиуса R, имеющий массу M, может вращаться вокруг своей горизонтальной оси O. К диску на нити AB длины l подвешена материальная точка массы m. Составить уравнения движения системы.
Составить уравнения движения математического маятника массы m, подвешенного на упругой нити; длина нити в положении равновесия l, ее жесткость равна c. Найти движение маятника для случая малых колебаний. В качестве обобщенных координат взять угол φ отклонений маятника от вертикали и относительное удлинение нити z.
Один конец нерастяжимой тонкой нити обмотан вокруг однородного круглого цилиндра радиуса R, второй конец прикреплен к неподвижной точке O. Цилиндр, разматывая нить, опускается вниз, одновременно раскачиваясь вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку подвеса нити. Пренебрегая массой нити, составить дифференциальные уравнения движения цилиндра.
Механизм робота-манипулятора состоит из колонны для вертикального перемещения, устройства для горизонтального перемещения, состоящего из звеньев 1 и 2, и выдвигающейся горизонтальной руки со схватом 3. Массы звеньев механизма m1, m2 и m3. Движущие силы, создаваемые приводами в поступательных парах, равны соответственно F01, F12 и F23. Составить дифференциальные уравнения движения механизма. Трением пренебречь.
Механизм робота-манипулятора состоит из поворотной колонны 1, устройства для вертикального перемещения 2 и выдвигающейся руки со схватом 3. Момент инерции звена 1 относительно оси поворота J1; масса звена 2 m2, момент инерции относительно оси поворота J2; масса двигающейся руки со схватом m3, расстояние от оси поворота до центра масс ρ, момент инерции относительно центральной оси J3. К оси поворота приложен момент M, движущие силы, создаваемые приводами в поступательных парах, равны соответственно F12 и F23. Составить дифференциальные уравнения движения механизма. Трением пренебречь.
Бегуны К, К приводятся в движение от вала двигателя при помощи передачи, схема которой показана на рисунке. Масса одного бегуна равна 3 т, средний радиус R = 1 м, радиус вращения r =0,5 м. Считаем, что мгновенная ось вращения бегуна проходит через среднюю точку C обода. Отношение радиусов колес конической передачи от двигателя к вертикальному валу равно 2/3. Бегун считаем однородным диском радиуса R и пренебрегаем массой всех движущихся частей по сравнению с массой бегунов. Вычислить, какой постоянный вращающий момент должен быть приложен на валу двигателя, чтобы сообщить вертикальному валу угловую скорость 120 об/мин по истечении 10 с от момента пуска двигателя; силами сопротивления пренебречь.
Однородный конус катится по шероховатой плоскости, наклоненной под углом а к горизонту. Длина образующей конуса l, угол раствора 2β. Составить уравнение движения конуса.
Два вала, находящихся в одной плоскости и образующих между собой угол a, соединены шарниром Кардана. Моменты инерции валов равны J1 и J2. Составить уравнение движения первого вала, если на него действует вращающий момент M1, а к другому валу приложен момент сопротивления М2. Трением в подшипниках пренебречь.
Кривошипный механизм состоит из поршня массы m1 шатуна AB массы m2, кривошипа OB, вала и махового колеса; J2 —момент инерции шатуна относительно его центра масс С; J3 — момент инерции кривошипа OB, вала и махового колеса относительно оси; Q —площадь поршня, p — давление, действующее на поршень, l— длина шатуна; S — расстояние между точкой А и центром масс шатуна; r —длина кривошипа OB; М — момент сопротивления, действующий на вал. Составить уравнение движения механизма, считая угол поворота шатуна φ малым, т. е. полагая sin φ = φ и cosφ = 1; в качестве обобщенной координаты взять угол поворота кривошипа ф. Механизм расположен в горизонтальной плоскости.
По однородному стержню массы М и длины 2а, концы которого скользят по гладкой, расположенной в горизонтальной плоскости окружности радиуса R, движется с постоянной относительной скоростью и материальная точка массы т. Определить движение стержня. В начальный момент материальная точка находится в центре масс стержня.