Геометрия

Отрезок ВК биссектриса треугольника АВС. Через точку К проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке М так, что ВМ = МК. Докажите, что KM параллельна AB.В треугольнике ABC угол А равен 40, а угол ВСЕ, смежный с углом АСВ, равен 80. Докажите, что биссектриса угла ВСЕ параллельна прямой AB.На прямые a, b и с пересечены прямой d, угол 1 = 42, угол 2 = 140, угол 3 = 138. Какие из прямых a, b и с параллельныDE биссектриса угла ADF. Найдите углы треугольника ADE.Радиус ОМ окружности с центром О делит хорду AB пополам. Докажите, что касательная, проведенная через точку М, параллельна хорде AB.На полуокружности AB взяты точки С и D так, что AC = 37, BD = 23. Найдите хорду CD, если радиус окружности равен 15 см.Хорды AB и CD пересекаются в точке E. Найдите ED, если АЕ = 5, ВЕ = 2, СЕ = 2,5; АЕ = 16, ВЕ = 9, СЕ = ED.Угол между диаметром AB и хордой AC равен 30. Через точку C проведена касательная, пересекающая прямую AB в точке D. Докажите, что треугольник ACD равнобедренный.Отрезки AB и AC являются отрезками касательных к окружности с центром О, проведенными из точки A. Найдите угол ВАС, если середина отрезка АО лежит на окружности.Хорды AB и CD окружности с центром О равны. Докажите, что две дуги с концами А и В соответственно равны двум дугам с концами C и D. Найдите дуги с концами C и D, если АОВ = 112Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие, образующие угол в 32. Большая дуга окружности, заключенная между сторонами этого угла, равна 100. Найдите меньшую дугу.Диаметр АА1 окружности перпендикулярен к хорде ВВ1 и пересекает ее в точке C. Найдите ВВ1, если AC = 4 см, СА1 = 8 см.Отрезок АН перпендикуляр, проведенный из точки А к прямой, проходящей через центр О окружности радиуса 3 см. Является ли прямая АН касательной к окружности, если OA = 5 см, АН = 4 см; НАО = 45, OA = 4 см.Вершины треугольника ABC лежат на окружности. Докажите, что если AB диаметр окружности, то угол С>А и С>BДокажите, что перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые основание перпендикуляра делит диаметр.Найдите основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружности делит высоту, проведенную к основанию, в отношении 12:5, считая от вершины, а боковая сторона равна 60 см.Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 10 см.Докажите, что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность и можно описать около него окружность, то этот параллелограмм квадратТочка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит одну из боковых сторон на отрезки, равные 3 см и 4 см, считая от основания. Найдите периметр треугольника.Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника равен 120, боковая сторона треугольника равна 8 см. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм ромбОтрезок AB является диаметром окружности, а хорды BC и AD параллельны. Докажите, что хорда CD является диаметром.В треугольник ABC вписана окружность, которая касается сторон AB, BC и СА в точках P, Q и R. Найдите АР, РВ, BQ, QC, CR, RA, если AB = 10 см, BC = 12 см, СА = 5 см.Окружность с центром О описана около прямоугольного треугольника. Докажите, что точка O середина гипотенузы. Найдите стороны треугольника, если диаметр окружности равен d, а один из острых углов треугольника равен αСумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 10 см, а его площадь 12 см2. Найдите радиус окружности, вписанной в этот четырехугольник.В равнобедренный треугольник вписана окружность с центром O1 и около него описана окружность с центром О2. Докажите, что точки лежат на серединном перпендикуляре к основанию треугольникаВ трапецию с основаниями a и b можно вписать окружность и можно описать около него окружность, то этот параллелограмм квадратНайдите длину окружности, описанной около правильного треугольника со стороной a; прямоугольного треугольника с катетами a и b.Как изменится площадь круга, если его радиус увеличить в k раз; уменьшить в k раз.Площадь сектора с центральным углом 72 равна S. Найдите радиус сектора.Как изменится радиус окружности, если ее длину увеличить в k раз; уменьшить в k разНайдите длину окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием а и боковой стороной b; прямоугольника с меньшей стороной а и острым углом α между диагоналями; правильного шестиугольника, площадь которого равна 24√3 см2Диаметр основания Царь-Колокола, находящегося в Московском Кремле, равен 6,6 м. Найдите площадь основания колокола.Как изменится длина окружности, если радиус окружности увеличить в три раза; уменьшить в два раза; увеличить в k раз; уменьшить в k раз