Геометрия

Найдите площадь круга, вписанного в равносторонний треугольник со стороной a; в прямоугольный треугольник с катетом а и прилежащим к нему острым углом αНа сторонах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены три полукруга. Докажите, что площадь полукруга, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей полукругов, построенных на катетахСколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен 90; 60; 120; 108Найдите углы выпуклого четырехугольника, если они равны друг другуВ выпуклом четырехугольнике прямая, проходящая через середины двух противоположных сторон, образует равные углы с диагоналями четырехугольника. Докажите, что диагонали равны.Найдите углы A, В и С выпуклого четырехугольника АВСD, если А = В = C, а угол D 135Найдите углы выпуклого четырехугольника, если они пропорциональны числам 1, 2, 4, 5.Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом, если углы BAC = ACD и BCA = DAC; AB||CD, A = C.Докажите, что отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, параллелен основаниям трапеции.Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Найдите периметр треугольника AOB, если CAD= 30, AC = 12 см.Из вершины В ромба ABCD проведены перпендикуляры ВК и ВМ к прямым AD и DC. Докажите, что луч BD является биссектрисой угла KBM.На диагонали AC квадрата ABCD взята точка М так, что АМ = AB. Через точку М проведена прямая, перпендикулярная к прямой AC и пересекающая BC в точке Н. Докажите, что ВН = НМ = МС.Из вершин B и D параллелограмма ABCD, у которого AB ≠ BC и угол А острый, проведены перпендикуляры ВК и DM к прямой AC. Докажите, что четырехугольник BMDK параллелограмм.Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что четырехугольник A1B1C1D1, вершинами которого являются середины отрезков OA, OB, OC и OD параллелограмм.Сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности.В параллелограмме, смежные стороны которого не равны, проведены биссектрисы углов. Докажите, что при их пересечении образуется прямоугольник.Докажите, что точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон.На двух сторонах треугольника вне его построены квадраты. Докажите, что отрезок, соединяющий концы сторон квадратов, выходящих из одной вершины треугольника, в два раза больше медианы треугольника, выходящей из той же вершины.Точки М и N середины сторон AD и BC параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые AN и MC делят диагональ BD на три равные части.Большее основание трапеции в два раза больше ее меньшего основания. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. Найти отношение высоты каждой из двух полученных трапеций к высоте данной трапеции.В прямоугольнике со сторонами a и b проведены биссектрисы всех углов до взаимного пересечения. Найти площадь четырехугольника, образованного биссектрисами.Длины сторон и диагоналей параллелограмма равны соответственно a, b, c и f. Найти углы параллелограмма, если a^4 + b^4 = c^2*f^2Пользуясь правилом многоугольника, упростите выражения (AB + BC – МС) + (MD – KD); (CB + AC + BD) – (MK + KD)Отрезок ВВ1 медиана треугольника АВС. Выразите векторы В1С, ВВ1, ВА, BC через x = АВ1 и у = AB.Докажите, что для любого вектора а справедливы равенства 1*а = a; (-1)*а = -а.Дан произвольный четырехугольник MNPQ. Докажите, что MN + NQ = MP + PQ; MN + NP = MQ + QPВ треугольнике ABC AB = 6, BC = 8, В = 90. Найдите |BA| - |BC| и |BA – BC|; |AB| + |BC| и |AB + ВС|; |BA| + |BC| и |BA + BC|; |AB| – |BC| и |AB – BC|.Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что XA + XC = XB + XD, где X произвольная точка плоскости.Дан вектор p = 3a, где а≠0. Напишите, как направлен каждый из векторов a, -а, 1/2 a -2а, 6а по отношению к вектору p, и выразите длины этих векторов через |p|Докажите, что если A, B, C и D произвольные точки, то AB + BC + CD + DA = 0.Точки M и N середины сторон AB и AC треугольника АВС. Выразите векторы B1С, ВB1, ВА, BC через x = AB1 и y = ABПусть x = m + n, y = m – n. Выразите через m и n векторы 2x – 2y; 2x + 1/2y; –x - 1/3yТочка М лежит на диагонали AC параллелограмма ABCD, причем AM:MC = 4:1. Разложите вектор АМ по векторам a = AB и b = AD.Выпишите координаты векторов a = 2i + 3j, b =i/2 - 2j, c = 8i, d = i – j, e = -2j, f = -i.Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если А (0; 0), В (5; 0), C (12; -3)