Геометрия

Из точки М проведен перпендикуляр МВ к плоскости прямоугольника АВCD. Докажите, что треугольники AMD и MCD прямоугольные.Точки A, М и О лежат на прямой, перпендикулярной к плоскости α, а точки О, B, С и D лежат в плоскости α. Какие из следующих углов являются прямыми: АОВ, МОС, DAM, DOA, BMOПрямая CD перпендикулярна к плоскости правильного треугольника АВС. Через центр О этого треугольника проведена прямая ОК, параллельная прямой CD. Известно, что AB = 16√3 см, ОК = 12 см, CD = 16 см. Найдите расстояния от точек D и K до вершин А и В треугольника.Докажите, что если одна их двух параллельных плоскостей перпендикулярна к прямой, то и другая плоскость перпендикулярна к этой прямой.Прямая а пересекает плоскость α в точке М и не перпендикулярна к этой плоскости. Докажите, что в плоскости α через точку M проходит прямая, перпендикулярная к прямой a, и притом только однаЧерез точку O пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна a, проведена прямая ОК, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки К до вершин квадрата, если ОК = b.В треугольнике ABC дано: С = 90, AC = 6 см, BC = 8 см, СМ – медиана. Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника АВС, причем СК = 12 см. Найдите КМ.В треугольнике ABC сумма углов А и В равна 90о. Прямая ВD перпендикулярна к плоскости АВС. Докажите, что CD перпендикулярна AC.Прямая АК перпендикулярна к плоскости правильного треугольника АВС, а точка М середина стороны BC. Докажите, что MK перпендикулярно BC.Неперпендикулярные плоскости α и β пересекаются по прямой MN. В плоскости β из точки А проведен перпендикуляр AB к прямой MN и из той же точки А проведен перпендикуляр AC к плоскости α. Докажите, что ABC линейный угол двугранного угла AMNC.Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскости α, а катет наклонен к этой плоскости под углом 30. Найдите угол между плоскостью α и плоскостью треугольника.Докажите, что плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.Двугранный угол равен φ. На одной грани этого угла лежит точка, удаленная на расстояние d от плоскости другой грани. Найдите расстояние от этой точки до ребра двугранного угла.Катет AC прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С лежит в плоскости α, а угол между плоскостью α и ABC равен 60. Найдите расстояние от точки В до плоскости α, если AC = 5 см, AB = 13 см.Плоскости α и β взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой a. Из точки М проведены перпендикуляры МА и МВ к этим плоскостям. Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке C. Докажите, что четырехугольник АСВМ является прямоугольником. Найдите расстояние от точки М до прямой a, если АМ = m, BM = n.На ребре двугранного угла 120 взят отрезок длиной c, и из его концов проведены перпендикуляры к нему, лежащие в различных гранях данного двугранного угла и имеющие длины a и b. Найти длину отрезка прямой, соединяющего концы этих перпендикуляров.Из вершины В треугольника АВС, сторона AC которого лежит в плоскости α, проведен к этой плоскости перпендикуляр BB1. Найдите расстояния от точки В до прямой AC и до плоскости α, если AB = 2 см, ВАС = 150 и двугранный угол ВАСВ1 равен 45Плоскости α и β взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой a. Из точки М проведены перпендикуляры МА и МВ к этим плоскостям. Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке C. Докажите, что четырехугольник АСВМ является прямоугольником. Найдите расстояние от точки М до прямой a, если АМ = m, BM = n.Общая сторона AB треугольников ABC и ABD равна 10 см. Плоскости этих треугольников взаимно перпендикулярны. Найдите CD, если треугольники равносторонние; прямоугольные равнобедренные с гипотенузой ABНайдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 1, 1, 2; 8, 9,12; √39, 7, 9Ребро куба равно a. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми, содержащими диагональ куба и ребро куба; диагональ куба и диагональ грани кубаНайдите измерения прямоугольного параллелепипеда АВСDA1B1C1D1, если АС1 = 12 см и диагональ BD1 cоставляет с плоскостью грани АА1D1D угол в 30, а с ребром DD1 угол в 45Найдите расстояние от вершины куба до плоскости любой грани, в которой не лежит эта вершина, если диагональ грани куба равна m; диагональ куба равна d.Дан куб ABCDA1B1C1D1. Докажите, что плоскости ABC1 и A1B1D перпендикулярны.В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 дано: D1B = d, AC = m, AB = n. Найдите расстояние между прямой A1C1 и плоскостью АВС; плоскостями АВB1 и DCC1; прямой DD1 и плоскостью АСC1В прямоугольном параллелепипеде основания равны 12 см и 5 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45. Найдите боковое ребро параллелепипеда.Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите следующие двугранные углы ABB1C; ADD1B; A1BB1K, где К середина ребра A1D1Найдите тангенс угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.Через два противолежащих ребра куба проведено сечение, площадь которого равна 64√2 м2. Найдите ребро куба и его диагональ.Диагональ правильной четырехугольной призмы образует с плоскостью боковой грани угол в 30. Найдите угол между диагональю и плоскостью основания.Стороны основания прямого параллелепипеда равны 8 см и 15 см и образуют угол в 60. Меньшая из площадей диагональных сечений равна 130 см2. Найдите площадь поверхности параллелепипедаОснованием пирамиды является параллелограмм, стороны которого равны 20 см и 36 см, а площадь равна 360 см2. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 12 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамидыОснованием прямой призмы является параллелограмм. Через сторону основания, равную a, и противолежащую ей сторону другого основания проведено сечение, составляющее угол β с плоскостью основания. Площадь сечения равна Q. Найдите объем данной призмыНайдите объем наклонной призмы, у которой основанием является треугольник со сторонами 10 см, 10 см и 12 см, а боковое ребро, равное 8 см, составляет с плоскостью основания угол в 60Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно m и составляет с плоскостью основания угол φ. Найдите объем пирамиды.