Геометрия

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = 1, BC = 2, BB1 = 3. Вычислите косинус угла между прямыми AC и D1B; AB1 и BC1; A1D и AC1Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Какие из следующих трех векторов компланарны AA1, CC1, BB1; AB, AD, AA1; B1B, AC, DD1; AD, CC1, A1B1В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка К середина ребра CC1. Разложите вектор AK по векторам AB, AD, AA1; DA1 по векторам AB1, BC1 и CD1.Отрезок EF соединяет середины ребер AC и BD тетраэдра ABCD. Докажите, что 2FE = BA + DC. Компланарны ли векторы FE, BA и DСЧисла k и l не равны друг другу. Докажите, что если векторы a + kb и a + lb не коллинеарны, то векторы a и b не коллинеарны; векторы а + k1b и a + l1b не коллинеарны при любых неравных числах k1 и l1.На трех некомпланарных векторах p = AB, q = AD, r = AA1 построен параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Разложите по векторам p, q и r векторы, образованные диагоналями этого параллелепипеда.Даны параллелограммы ABCD и A1B1C1D1. Докажите, что векторы BB1 CC1 DD1 компланарны.Точки A1, B1 и C1 середины сторон BC, AC и AB треугольника ABC, точка O произвольная точка пространства. Докажите, что ОA1 + ОB1 + ОC1 = OA + OB + OC.В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 диагонали грани DCC1D1 пересекаются в точке М. Разложите вектор AM по векторам AB, AD и AA1.Даны координаты четырех вершин куба ABCDA1B1C1D1: А(0; 0; 0), B(0; 0; 1); D(0; 1; 0) и A1(1; 0; 0). Найдите координаты остальных вершин куба.Найдите длину вектора AB, если А(-1; 0; 2), В(1; -2; 3); А(-35; -17; 20), В(-34; -5; 8)Даны векторы а{5; -1; 1}, b{-2; 1; 0}, c{0; 0,2; 0} и d{-1/3; 2 2/5; -1/7}. Найдите координаты векторов a – b; b – a;d – a; a – b + c; a – b – c; 2а; –6с; 0,2b.Даны точки А(2; -3; 0), В(7; -12; 18) и C(-8; 0; 5). Запишите координаты векторов OA, OB и OC, если точка O начало координат.Найдите длины векторов а {5; -1; 7}, b{ 2√3; -6; 1}, c = i + j + k, d = -2k, m = i – 2jДаны векторы а{-1; 2; 0}, b{0; -5; -2} и с {2; 1; -3}. Найдите координаты векторов p = 3b – 2a + c и q = 3c – 2b + a.Даны векторы OA {3; 2; 1}; OB {1; -3; 5} и OC {-1/3; 0,75; -2 3/4}. Запишите координаты точек A, В и C, если точка O начало координат.Даны векторы а{3; -2; 1}, b{-2; 3; 1} и с{-3; 2; 1}. Найдите |a + b|; |a| + |b|; |a – b|; |3c|; |2a – 3c|Докажите, что при центральной симметрии плоскость, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей плоскость; плоскость, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.При зеркальной симметрии относительно плоскости α плоскость β отображается на плоскость β1. Докажите, что если β параллельна α, то β1||α; β ⊥ α, то β1 совпадает с β.Докажите, что при движении прямая отображается на прямую; плоскость отображается на плоскость.Докажите, что при движении отрезок отображается на отрезок; угол отображается на равный ему уголДокажите, что при осевой симметрии прямая, параллельная оси, отображается на прямую, параллельную оси; прямая, образующая с осью угол φ, отображается на прямую, также образующую с осью уголПри зеркальной симметрии прямая а отображается на прямую a1. Докажите, что a и a1 лежат в одной плоскости.Докажите, что при параллельном переносе на вектор p, где p не равно 0: прямая, не параллельная вектору p и не содержащая этот вектор, отображается на параллельную ей прямую; прямая, параллельная вектору p или содержащая этот вектор, отображается на себя.Докажите, что при движении параллельные прямые отображаются на параллельные прямые; параллельные плоскости отображаются на параллельные плоскостиДокажите, что при центральной симметрии прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую; прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.Треугольник A1B1C1 получен параллельным переносом треугольника ABC на вектор P. Точки M1 и M соответственно точки пересечения медиан треугольников A1B1C1 и ABC. Докажите, что при параллельном переносе на вектор р точка M переходит в M1Докажите, что при движении окружность отображается на окружность того же радиуса; прямоугольный параллелепипед отображается на прямоугольный параллелепипед с теми же измерениямиВысота цилиндра на 12 см больше его радиуса, а площадь полной поверхности равна 288π см^2. Найдите радиус основания и высотуВысота конуса равна h, а угол между высотой и образующей равен 60. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две взаимно перпендикулярные образующие.Площадь основания цилиндра равна Q, а площадь его осевого сечения равна S. Найдите объемДиаметр основания цилиндра равен 1 м, высота цилиндра равна длине окружности основания. Найдите площадь боковой поверхностиНайдите высоту конуса, если площадь его осевого основания равна 6 дм^2, а площадь основания равна 8 дм2.Угол между образующей и осью конуса равен 45, образующая равна 6,5 см. Найдите площадь боковой поверхностиПусть V, r и h соответственно объем, радиус и высота цилиндра. Найдите V, если r = 2√2 см, h = 3 см; r, если V = 120 см3, h = 3,6 см; h, если r = h, V = 8π см3.