1. Постройте угол, косинус которого равен: 1) 3/5; 2) 4/9; 3) 0,5; 4) 0,8. РЕШЕНИЕ
2. У прямоугольного треугольника заданы катеты a и b. Найдите гипотенузу, если: 1) a = 3, b = 4; 2) a = 1, b = 1; 3) a = 5, b = 6. РЕШЕНИЕ
3. У прямоугольного треугольника заданы гипотенуза c и катет a. Найдите второй катет, если: 1) c = 5, a = 3; 2) c = 13, a = 5; 3) c = 6, a = 5. РЕШЕНИЕ
4. Две стороны прямоугольного треугольника равны 3 м и 4 м. Найдите третью сторону. РЕШЕНИЕ
5. Могут ли стороны прямоугольного треугольника быть пропорциональны числам 5, 6, 7? РЕШЕНИЕ
6. Найдите сторону ромба, если его диагонали равны: 1) 6 см и 8 см; 2) 16 дм и 30 дм; 3) 5 м и 12 м. РЕШЕНИЕ
7. Стороны прямоугольника 60 см и 91 см. Чему равна диагональ? РЕШЕНИЕ
8. Диагональ квадрата a. Чему равна сторона квадрата? РЕШЕНИЕ
9. Можно ли из круглого листа железа диаметром 1,4 м вырезать квадрат со стороной 1 м? РЕШЕНИЕ
10. Найдите высоту равнобокой трапеции, у которой основания 5 м и 11 м, а боковая сторона 4 м. РЕШЕНИЕ
11. Найдите медиану равнобедренного треугольника с основанием a и боковой стороной b, проведенную к основанию. РЕШЕНИЕ
12. Могут ли увидеть друг друга космонавты, летящие над поверхностью Земли на высоте 230 км, если расстояние между ними по прямой равно 2200 км? Радиус Земли равен 6370 км РЕШЕНИЕ
13. В равностороннем треугольнике со стороной a найдите высоту. РЕШЕНИЕ
14. Даны отрезки a и b. Как построить отрезок: корень из (a2 + b2) корень из (a2 - b2), a > b РЕШЕНИЕ
15. Даны отрезки a и b. Как построить отрезок x = √ab ? РЕШЕНИЕ
16. Между двумя фабричными зданиями устроен покатый желоб для передачи материалов. Расстояние между зданиями равно 10 м, а концы желоба расположены на высоте 8 м и 4 м над землей. Найдите длину желоба. РЕШЕНИЕ
17. Докажите, что если треугольник имеет стороны a, b, с и a2 + b2 = c2, то у него угол, противолежащий стороне c, прямой. РЕШЕНИЕ
18. Чему равен угол треугольника со сторонами 5, 12, 13, противолежащий стороне 13? РЕШЕНИЕ
19. На стороне AB треугольника ABC взята точка X. Докажите, что отрезок CX меньше по крайней мере одной из сторон AC или BC. РЕШЕНИЕ
20. Докажите, что расстояние между любыми двумя точками на сторонах треугольника не больше большей из его сторон. РЕШЕНИЕ
21. Даны прямая и точка C на расстоянии h от этой прямой. Докажите, что из точки C можно провести две и только две наклонные длины l, если l > h. РЕШЕНИЕ
22. Докажите, что прямая, отстоящая от центра окружности на расстояние, меньшее радиуса, пересекает окружность в двух точках. Пусть дана окружность с центром O и радиусом R и прямая a, отстоящая от центра на расстояние h < R. РЕШЕНИЕ
23. Докажите, что любая хорда окружности не больше диаметра и равна диаметру только тогда, когда сама является диаметром. РЕШЕНИЕ
24. Докажите, что точки A, B, C лежат на одной прямой, если: 1) AB = 5 м, BC = 7 м. AC = 12 м; AB = 10,7, BC = 17.1, AC = 6,4. РЕШЕНИЕ
25. Докажите, что любая сторона треугольника больше разности двух других его сторон. РЕШЕНИЕ
26. Может ли у параллелограмма со сторонами 4 см и 7 см одна из диагоналей быть равной 2 см? РЕШЕНИЕ
27. В треугольнике одна сторона равна 1,9 м, а другая 0,7 м. Найдите третью сторону, зная, что ее длина равна целому числу метров. РЕШЕНИЕ
28. Докажите, что медиана треугольника ABC, проведенная из вершины A, меньше полусуммы сторон AB и AC. РЕШЕНИЕ
29. Известно, что диагонали четырехугольника пересекаются. Докажите, что сумма их длин меньше периметра, но больше полупериметра четырехугольника. РЕШЕНИЕ
30. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O. Докажите, что сумма расстояний от любой точки плоскости до точек A, B. С и D не меньше, чем OA + OB + OC + OD. РЕШЕНИЕ
31. На прямолинейном шоссе требуется указать место автобусной остановки так, чтобы сумма расстояний от нее до населенных пунктов A и B была наименьшей. Рассмотрите два случая: 1) населенные пункты расположены по разные стороны от шоссе; 2) населенные пункты расположены по одну сторону от шоссе РЕШЕНИЕ
32. Могут ли стороны треугольника быть пропорциональными числам 1, 2, 3? РЕШЕНИЕ
33. Докажите, что в треугольнике каждая сторона меньше половины периметра. РЕШЕНИЕ
34. Внутри окружности радиуса R взята точка на расстоянии d от центра. Найдите наибольшее и наименьшее расстояния от этой точки до точек окружности. РЕШЕНИЕ
35. Вне окружности радиуса R взята точка на расстоянии d от центра. Найдите наибольшее и наименьшее расстояния от этой точки до точек окружности. РЕШЕНИЕ
36. Могут ли пересекаться окружности, центры которых находятся на расстоянии 20 см, а радиусы 8 см и 11 см? Объясните ответ. РЕШЕНИЕ
37. Могут ли пересекаться окружности, центры которых находятся на расстоянии 5 см, а радиусы 6 см и 12 см? Объясните ответ. РЕШЕНИЕ
38. Докажите, что в задаче 36 окружности находятся одна вне другой, а в задаче 37 окружность радиуса 6 см находится внутри окружности радиуса 12 см. РЕШЕНИЕ
39. Могут ли пересекаться окружности с радиусами R1 и R2 и расстоянием между центрами d, если R1 + R2 < d? РЕШЕНИЕ
40. Даны три положительных числа a, b, c, удовлетворяющие условиям a ≤ b ≤ c < a + b. Докажите последовательно утверждения: 1) 0 < (c2 + a2 - b2) / 2c < a; 2) существует прямоугольный треугольник BCD, у которого гипотенуза BC = a, а катет BD = (c2 + a2 - b2) / 2c; 3) треугольник ABC, у которого BC = a, AB = c, а расстояние BD равно (c2 + a2 - b2) / 2c, имеет сторону АС = b. РЕШЕНИЕ
41.Даны три положительных числа a, b, c. Докажите, что если каждое из этих чисел меньше суммы двух других, то существует треугольник со сторонами a, b, c. РЕШЕНИЕ
42.Можно ли построить треугольник со сторонами: 1) a = 1 см, b = 2 см, c = 3 см; 2) a = 2 см, b = 3 см, c = 4 см; 3) a = 3 см, b = 7 см, c = 11 см; 4) a = 4 см, b = 5 см, c = 9 см? РЕШЕНИЕ
43.Даны две окружности с радиусами R1, R2 и расстоянием между центрами d. Докажите, что если каждое из чисел R1, R2 и d меньше суммы двух других сторон, то окружности пересекаются в двух точках. РЕШЕНИЕ
44.У прямоугольного треугольника один катет равен 8 см, а синус противолежащего ему угла равен 0,8. Найдите гипотенузу и второй катет. РЕШЕНИЕ
45.В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна a, а один из острых углов α. Найдите второй острый угол и катеты. РЕШЕНИЕ
46.В прямоугольном треугольнике катет равен a, а противолежащий ему угол α. Найдите второй острый угол, противолежащий ему катет и гипотенузу. РЕШЕНИЕ
47.В прямоугольном треугольнике даны гипотенуза c и острый угол α. Найдите катеты, их проекции на гипотенузу и высоту, опущенную на гипотенузу. РЕШЕНИЕ
48.1) Найдите sin22°; sin22°36 ; sin22°38 ; sin 22°41 ; cos 68°; cos68°18 ; cos68°23 . 2) Найдите угол x, если sin(x) = 0,2850; sinx = 0,2844; cosx = 0,2710. РЕШЕНИЕ
49.Найдите значения синуса и косинуса углов: 1) 16°; 2) 24°36 ; 3) 70°32 ; 4) 88°49 . РЕШЕНИЕ
53.Высота равнобедренного треугольника равна 12,4 м, а основание 40,6 м. Найдите углы треугольника и боковую сторону. РЕШЕНИЕ
54.Отношение катетов прямоугольного треугольника равно 19: 28. Найдите его углы. РЕШЕНИЕ
55.Стороны прямоугольника равны 12,4 и 26. Найдите угол между диагоналями. РЕШЕНИЕ
56.Диагонали ромба равны 4,73 и 2,94. Найдите его углы. РЕШЕНИЕ
57.Сторона ромба 241 м, высота 120 м. Найдите углы. РЕШЕНИЕ
58.Радиус окружности равен 5 м. Из точки, отстоящей от центра на 13 м, проведены касательные к окружности. Найдите длины касательных и угол между ними. РЕШЕНИЕ
59.Тень от вертикально стоящего шеста, высота которого 7 м, составляет 4 м. Выразите в градусах высоту солнца над горизонтом. РЕШЕНИЕ
60.Основание равнобедренного прямоугольного треугольника равно a. Найдите боковую сторону. РЕШЕНИЕ
61.Найдите неизвестные стороны и острые углы прямоугольного треугольника по следующим данным: 1) по двум катетам: а) a = 3, b = 4; б) a = 9, b = 40; в) a = 20, b = 21; г) a = 11, b = 60; 2) по гипотенузе и катету: а) c = 13, a =-5; б) c = 25, a = 7; в) a = 17, a = 8; г) c = 85, a = 84; 3) по гипотенузе и острому углу: а) c = 2, α = 20°; б) c = 4, α = 50°20 ; в) c = 8, a = 70°36 ; г) c = 16, α = 76°21 ; 4) по катету и противолежащему углу: а) a = 3, α = 30°27 ; б) a = 5, α = 40°48 ; в) a = 7, α = 60°85 ; г) a = 9, α = 68° . РЕШЕНИЕ