Задачи на тему Динамика точки и системы переменной массы (переменного состава)

Предмет Теоретическая механика
Из пособия Решебник Мещерский

45.1 Составить уравнение движения маятника переменной массы в среде, сопротивление которой пропорционально скорости. Масса маятника изменяется по заданному закону m=m(t) путем отделения частиц с относительной скоростью, равной нулю. Длина нити маятника l. На маятник действует также сила сопротивления, пропорциональная его угловой скорости: R=-βφ .
РЕШЕНИЕ

45.2 Составить дифференциальное уравнение восходящего движения ракеты. Эффективную скорость ve истечения газов считать постоянной. Масса ракеты изменяется по закону m=m0f(t) (закон сгорания). Сила сопротивления воздуха является заданной функцией скорости и положения ракеты: R(x,x ).
РЕШЕНИЕ

45.3 Проинтегрировать уравнение движения предыдущей задачи при m=m0(1-αt) и R=0. Начальная скорость ракеты у поверхности Земли равна нулю. На какой высоте будет находиться ракета в моменты t=10; 30; 50 с при ve=2000 м/с и α=1/100 с-1?
РЕШЕНИЕ

45.4 Ракета начальной массы m0 поднимается вертикально вверх в однородном поле силы тяжести с постоянным ускорением ng (g ускорение земного тяготения). Пренебрегая сопротивлением атмосферы и считая эффективную скорость ve истечения газов постоянной, определить: 1) закон изменения массы ракеты, 2) закон изменения массы ракеты при отсутствии поля тяготения.
РЕШЕНИЕ

45.5 Масса ракеты, описанной в задаче 45.2, изменяется до t=t0 по закону m=m0e-αt. Пренебрегая силой сопротивления, найти движение ракеты и, считая, что к моменту времени t0 весь заряд практически сгорел, определить максимальную высоту подъема ракеты. В начальный момент ракета имела скорость, равную нулю, и находилась на земле.
РЕШЕНИЕ

45.6 При условиях предыдущей задачи определить значение α, отвечающее максимальной возможной высоте подъема ракеты Hmax, и вычислить Hmax (величину μ=αt0=ln(m0/m1) необходимо считать постоянной; m1 масса ракеты в момент t0).
РЕШЕНИЕ

45.7 При условиях задач 45.5 и 45.6, задавшись коэффициентом перегрузки k=αve/g, определить высоту подъема H ракеты в зависимости от Hmax.
РЕШЕНИЕ

45.8 Ракета стартует с Луны вертикально к ее поверхности. Эффективная скорость истечения ve=2000 м/с. Число Циолковского z=5. Определить, какое должно быть время сгорания топлива, чтобы ракета достигла скорости v=3000 м/с (принять, что ускорение силы тяжести вблизи Луны постоянно и равно 1,62 м/с2).
РЕШЕНИЕ

45.9 Ракета движется в однородном поле силы тяжести вверх с постоянным ускорением w. Пренебрегая сопротивлением атмосферы и считая эффективную скорость ve истечения газов постоянной, определить время T, за которое масса ракеты уменьшится в два раза.
РЕШЕНИЕ

45.10 Эффективная скорость истечения газов из ракеты ve=2,4 км/с. Какой процент должен составлять вес топлива от стартового веса ракеты, чтобы ракета, движущаяся вне поля тяготения и вне атмосферы, приобрела скорость 9 км/с?
РЕШЕНИЕ

45.11 Ракета движется поступательно при отсутствии тяготения и сопротивления среды. Эффективная скорость истечения газов ve=2400 м/с. Определить число Циолковского, если в момент полного сгорания топлива скорость ракеты будет равна 4300 м/с.
РЕШЕНИЕ

45.12 Тело переменной массы, имея начальную скорость, равную нулю, движется с постоянным ускорением w по горизонтальным направляющим. Эффективная скорость истечения газов ve постоянна. Определить, пренебрегая сопротивлением, путь, пройденный телом до того момента, когда его масса уменьшится в k раз.
РЕШЕНИЕ

45.13 Решить предыдущую задачу, предположив, что на тело действует сила трения скольжения.
РЕШЕНИЕ

45.14 Тело переменной массы движется по специальным направляющим, проложенным вдоль экватора. Касательное ускорение wτ=a постоянно. Не учитывая сопротивление движению, определить, во сколько раз уменьшится масса тела, когда оно сделает один оборот вокруг Земли, если эффективная скорость истечения газов ve=const. Каково должно быть ускорение a, чтобы после одного оборота тело приобрело первую космическую скорость? Радиус Земли R.
РЕШЕНИЕ

45.15 Определить в предыдущей задаче массу топлива, сгоревшую к моменту, когда давление тела на направляющие будет равно нулю.
РЕШЕНИЕ

45.16 Тело скользит по горизонтальным рельсам. Истечение газа происходит вертикально вниз с постоянной эффективной скоростью ve. Начальная скорость тела равна v0. Найти закон изменения скорости тела и закон его движения, если изменение массы происходит по закону m=m0-at. Коэффициент трения скольжения равен f.
РЕШЕНИЕ

45.17 Решить предыдущую задачу, если изменение топлива будет происходить по закону m=m0e-αt. Определить, при каком α тело будет двигаться с постоянной скоростью v0.
РЕШЕНИЕ

45.18 Какой путь пройдет ракета на прямолинейном активном участке в пустоте и при отсутствии сил тяготения за время разгона от нулевой начальной скорости до скорости, равной эффективной скорости истечения продуктов сгорания ve, если известна начальная масса ракеты m0 и секундный расход β?
РЕШЕНИЕ

45.19 Ракета движется прямолинейно вне поля тяготения и при отсутствии сопротивления. Найти работу силы тяги к моменту, когда сгорит все топливо. Начальная масса ракеты m0, конечная m1. Эффективная скорость истечения ve постоянна.
РЕШЕНИЕ

45.20 При каком отношении z начальной m0 и конечной m1 масс ракеты, движущейся прямолинейно в пустоте и при отсутствии сил тяготения, ее механический к.п.д., определяемый как отношение кинетической энергии ракеты после выгорания топлива к затраченной энергии, имеет наибольшее значение?
РЕШЕНИЕ

45.21 Самолет, имеющий массу m0, приземляется со скоростью v0 на полярный аэродром. Вследствие обледенения масса самолета при движении после посадки увеличивается согласно формуле m=m0+at, где a=const. Сопротивление движению самолета по аэродрому пропорционально его весу (коэффициент пропорциональности f). Определить промежуток времени до остановки самолета с учетом (T) и без учета (T1) изменения его массы. Найти закон изменения скорости с течением времени.
РЕШЕНИЕ

45.22 Эффективные скорости истечения первой и второй ступени у двухступенчатой ракеты соответственно равны ve(1)=2400 м/с и ve(2)=2600 м/с. Определить, считая, что движение происходит вне поля тяготения и атмосферы, числа Циолковского для обеспечения конечной скорости v1=2400 м/с первой ступени и конечной скорости v2=5400 м/с второй ступени.
РЕШЕНИЕ

45.23 Считая, что у трехступенчатой ракеты числа Циолковского и эффективные скорости ve истечения у всех трех ступеней одинаковы, найти число Циолковского при ve=2,4 км/с, если после сгорания всего топлива скорость ракеты равна 9 км/с (влиянием поля тяготения и сопротивлением атмосферы пренебречь).
РЕШЕНИЕ

45.24 Трехступенчатая ракета движется поступательно при отсутствии тяготения и сопротивления атмосферы. Эффективные скорости истечения и числа Циолковского для всех ступеней одинаковы и соответственно равны ve=2500 м/с, z=4. Определить скорости ракеты после сгорания горючего в первой ступени, во второй и в третьей.
РЕШЕНИЕ

45.25 В момент, когда приближающийся к Луне космический корабль находится на расстоянии H от ее поверхности и имеет скорость v0, направленную к центру Луны, включается тормозной двигатель. Учитывая, что сила тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояния от корабля до центра Луны и принимая, что масса корабля изменяется по закону m=m0e-αt (m0 масса ракеты в момент включения тормозного двигателя, α постоянное число), найти α, при котором корабль совершит мягкую посадку (т.е. будет иметь скорость прилунения, равную нулю). Эффективная скорость истечения газов ve постоянна. Радиус Луны R, ускорение силы тяжести на Луне gЛ.
РЕШЕНИЕ

45.26 Найти закон изменения массы ракеты, начавшей движение вертикально вверх с нулевой начальной скоростью, если ее ускорение w постоянно, а сопротивление среды пропорционально квадрату скорости (b коэффициент пропорциональности). Поле силы тяжести считать однородным. Эффективная скорость истечения газа ve постоянна.
РЕШЕНИЕ

45.27 Ракета перемещается в однородном поле силы тяжести по прямой с постоянным ускорением w. Эта прямая образует угол α с горизонтальной плоскостью, проведенной к поверхности Земли в точке запуска ракеты. Предполагая, что эффективная скорость истечения газов ve постоянна по величине и направлению, определить, каково должно быть отношение начальной массы ракеты к массе ракеты без топлива (число Циолковского), если к моменту сгорания топлива ракета оказалась на расстоянии H от указанной выше касательной плоскости.
РЕШЕНИЕ

45.28 Тело переменной массы движется вверх с постоянным ускорением w по шероховатым прямолинейным направляющим, составляющим угол α с горизонтом. Считая, что поле силы тяжести является однородным, а сопротивление атмосферы движению тела пропорционально первой степени скорости (b коэффициент сопротивления), найти закон изменения массы тела. Эффективная скорость истечения газа ve постоянна; коэффициент трения скольжения между телом и направляющими равен f.
РЕШЕНИЕ

45.29 Аэростат весом Q поднимается вертикально и увлекает за собой сложенный на земле канат. На аэростат действует подъемная сила P, сила тяжести и сила сопротивления, пропорциональная квадрату скорости: R=-βx 2. Вес единицы длины каната γ. Составить уравнение движения аэростата.
РЕШЕНИЕ

45.30 При условиях предыдущей задачи определить скорость подъема аэростата. В начальный момент аэростат неподвижен и находится на высоте H0.
РЕШЕНИЕ

45.31 Шарообразная водяная капля падает вертикально в атмосфере, насыщенной водяными парами. Вследствие конденсации масса капли возрастает пропорционально площади ее поверхности (коэффициент пропорциональности α). Начальный радиус капли r0, ее начальная скорость v0, начальная высота h0. Определить скорость капли и закон изменения ее высоты со временем (сопротивлением движению пренебречь).
РЕШЕНИЕ

45.32 Решить предыдущую задачу в предположении, что на каплю кроме силы тяжести действует еще и сила сопротивления, пропорциональная площади максимального поперечного сечения и скорости капля R=-4βπr2v (β постоянный коэффициент).
РЕШЕНИЕ

45.33 Свернутая в клубок тяжелая однородная цепь лежит на краю горизонтального стола, причем вначале одно звено цепи неподвижно свешивается со стола. Направляя ось x вертикально вниз и принимая, что в начальный момент x=0, x =0, определить движение цепи.
РЕШЕНИЕ

45.34 Цепь сложена на земле и одним концом прикреплена к вагонетке, стоящей на наклонном участке пути, образующем угол α с горизонтом. Коэффициент трения цепи о землю f. Вес единицы длины цепи γ, вес вагонетки P. Скорость вагонетки в начальный момент v0. Определить скорость вагонетки в любой момент времени и выяснить необходимое условие, при котором вагонетка может остановиться.
РЕШЕНИЕ

45.35 Материальная точка массы m притягивается по закону всемирного тяготения Ньютона к неподвижному центру. Масса центра со временем меняется по закону M=M0/(1+αt). Определить движение точки.
РЕШЕНИЕ

45.36 Для быстрого сообщения ротору гироскопа необходимого числа оборотов применяется реактивный запуск. В тело ротора вделываются пороховые шашки общей массой m0, продукты сгорания которых выбрасываются через специальные сопла. Принять пороховые шашки за точки, расположенные на расстоянии r от оси вращения ротора. Касательная составляющая эффективной скорости истечения продуктов сгорания ve постоянна. Считая, что общий расход массы пороха в одну секунду равен q, определить угловую скорость ω ротора к моменту сгорания пороха, если на ротор действует постоянный момент сопротивления, равный M. Радиус ротора R. В начальный момент ротор находится в покое.
РЕШЕНИЕ

45.37 По данным предыдущей задачи найти угловую скорость ротора после сгорания пороха, если на ротор действует момент сопротивления, пропорциональный его угловой скорости (b коэффициент пропорциональности).
РЕШЕНИЕ