Задачи на тему Скорости точек твердого тела в плоском движении. Мгновенный центр скоростей

Предмет Теоретическая механика
Из пособия Решебник Мещерский

16.1 Направив ось перпендикулярно скорости любой из точек плоской фигуры, показать, что проекции на эту ось скоростей всех лежащих на ней точек равны нулю.
РЕШЕНИЕ

16.2 Колесо катится по наклонной плоскости, образующей угол 30° с горизонтом. Центр O колеса движется по закону xO=10t2 см, где x ось, направленная параллельно наклонной плоскости. К центру O колеса подвешен стержень OA=36 см, качающийся вокруг горизонтальной оси O, перпендикулярной плоскости рисунка, по закону φ=(π/3)sin(πt/6) рад. Найти скорость конца A стержня AO в момент времени t=1 c.
РЕШЕНИЕ

16.3 При движении диска радиуса r=20 см в вертикальной плоскости xy его центр C движется согласно уравнениям xC=10t м, yC=(100-4,9t2) м. При этом диск вращается вокруг горизонтальной оси C, перпендикулярной плоскости диска, с постоянной угловой скоростью ω=π/2 рад/с. Определить в момент времени t=0 скорость точки A, лежащей на ободе диска. Положение точки A на диске определяется углом φ=ωt, отсчитываемым от вертикали против хода часовой стрелки.
РЕШЕНИЕ

16.4 Сохранив условие предыдущей задачи, определить скорость точки A в момент времени t=1 c.
РЕШЕНИЕ

16.5 Два одинаковых диска радиуса r каждый соединены цилиндрическим шарниром A. Диск I вращается вокруг неподвижной горизонтальной оси O по закону φ=φ(t). Диск II вращается вокруг горизонтальной оси A согласно уравнению ψ=ψ(t). Оси O и A перпендикулярны плоскости рисунка. Углы φ и ψ отсчитываются от вертикали против хода часовой стрелки. Найти скорость центра C диска II.
РЕШЕНИЕ

16.6 Сохранив условие предыдущей задачи, найти скорость точки B диска II, если ACB=π/2.
РЕШЕНИЕ

16.7 Стержень AB длины 1 м движется, опираясь все время своими концами на две взаимно перпендикулярные прямые Ox и Oy. Найти координаты x и y мгновенного центра скоростей в тот момент, когда угол OAB=60°.
РЕШЕНИЕ

16.8 Доска складного стола, имеющая форму прямоугольника со сторонами a и b, поворотом вокруг оси шипа O переводится из положения ABCD в положение A1B1C1D1 и, будучи разложена, образует прямоугольник со сторонами b и 2a. Найти положение оси шипа O относительно сторон AB и AD.
РЕШЕНИЕ

16.9 Прямая AB движется в плоскости рисунка. В некоторый момент времени скорость vA точки A составляет с прямой AB угол 30° и равна 180 см/с, направление скорости точки B в этот момент совпадает с направлением прямой AB. Определить скорость vB точки B.
РЕШЕНИЕ

16.10 Прямая AB движется в плоскости рисунка, причем конец ее A все время находится на полуокружности CAD, а сама прямая все время проходит через неподвижную точку C диаметра CD. Определить скорость vC точки прямой, совпадающей с точкой C, в тот момент, когда радиус OA перпендикулярен CD, если известно, что скорость точки A в этот момент 4 м/с.
РЕШЕНИЕ

16.11 Стержень AB длины 0,5 м движется в плоскости рисунка. Скорость vA (vA=2 м/с) образует угол 45° с осью x, совмещенной со стержнем. Скорость vB точки B образует угол 60° с осью x. Найти модуль скорости точки B и угловую скорость стержня.
РЕШЕНИЕ

16.12 Точильный станок приводится в движение педалью OA=24 см, которая колеблется около оси O по закону φ=(π/6)sin(πt/2) рад (угол φ отсчитывается от горизонтали). Точильный камень K вращается вокруг оси O1 с помощью стержня AB. Оси O и O1 перпендикулярны плоскости рисунка. Найти скорость точки D, лежащей на ободе точильного камня K радиуса R=2BO1, при t=0, если в этот момент OA и O1B расположены горизонтально.
РЕШЕНИЕ

16.13 На рисунке изображен суммирующий механизм. В него входят стержни 1 и 2, движущиеся вдоль вертикальных направляющих. Эти стержни соединены с коромыслом AB цилиндрическими шарнирами, скользящими в пазах коромысла. Стержни движутся со скоростями v1 и v2. Показать, что скорость стержня 3, соединенного с центром O коромысла AB и скользящего в вертикальных направляющих, равна по модулю v = bv1/(a+b) + av2/(a+b), где a и b размеры, указанные на рисунке. Найти также угловую скорость коромысла AB.
РЕШЕНИЕ

16.14 Стержень OB вращается вокруг оси O с постоянной угловой скоростью ω=2 с-1 и приводит в движение стержень AD, точки A и C которого движутся по осям: A по горизонтальной Ox, C по вертикальной Oy. Определить скорость точки D стержня при φ=45° и найти уравнение траектории этой точки, если AB=OB=BC=CD=12 см.
РЕШЕНИЕ

16.15 В кривошипном механизме длина кривошипа OA=40 см, длина шатуна AB=2 м; кривошип вращается равномерно с угловой скоростью, равной 6π рад/с. Найти угловую скорость ω шатуна и скорость средней его точки M при четырех положениях кривошипа, для которых угол AOB соответственно равен 0, π/2, π, Зπ/2.
РЕШЕНИЕ

16.16 Найти скорость ползуна B нецентрального кривошипного механизма при двух горизонтальных и двух вертикальных положениях кривошипа, вращающегося вокруг вала O с угловой скоростью ω=1,5 рад/с, если OA=40 см, AB=200 см, OC=20 см.
РЕШЕНИЕ

16.17 Определить скорость точки K четырехзвенного механизма OABO1 в положении, указанном на рисунке, если звено OA длины 20 см имеет в данный момент угловую скорость 2 рад/с. Точка K расположена в середине стержня BO1.
РЕШЕНИЕ

16.18 Определить скорость поршня E приводного механизма насоса в положении, указанном на рисунке, если OA=20 см, O1B=O1D. Кривошип OA вращается равномерно с угловой скоростью 2 рад/с.
РЕШЕНИЕ

16.19 Стержни O1A и O2B, соединенные со стержнем AB посредством шарниров A и B, могут вращаться вокруг неподвижных точек O1 и O2, оставаясь в одной плоскости и образуя шарнирный четырехзвенник. Дано: длина стержня O1A=a и его угловая скорость ω. Определить построением ту точку M стержня AB, скорость которой направлена вдоль этого стержня, а также найти величину скорости v точки M в тот момент, когда угол O1AB имеет данную величину α.
РЕШЕНИЕ

16.20 Угловая скорость стержня O1A шарнирного четырехзвенника равна ω1. Выразить угловую скорость ω2 стержня O2B через ω1 и кратчайшие расстояния O1D и O2E от осей вращения стержней O1A и O2B до шатуна AB.
РЕШЕНИЕ

16.21 В шарнирном четырехзвеннике ABCD ведущий кривошип AB вращается с постоянной угловой скоростью ω0=6π рад/с. Определить мгновенные угловые скорости кривошипа CD и стержня BC в тот момент, когда кривошип AB и стержень BC образуют одну прямую, если BC=3AB.
РЕШЕНИЕ

16.22 К середине D стержня AB шарнирного параллелограмма OABO1 присоединен с помощью шарнира D стержень DE, приводящий в возвратно-поступательное движение ползун K. Определить скорость ползуна K и угловую скорость стержня DE в положении, указанном на рисунке, если OA=O1B=2DE=20 см, а угловая скорость звена OA равна в данный момент 1 рад/с.
РЕШЕНИЕ

16.23 Ползуны B и E сдвоенного кривошипно-ползунного механизма соединены стержнем BE. Ведущий кривошип OA и ведомый кривошип OD качаются вокруг общей неподвижной оси O, перпендикулярной плоскости рисунка. Определить мгновенные угловые скорости ведомого кривошипа OD и шатуна DE в тот момент, когда ведущий кривошип OA, имеющий мгновенную угловую скорость ω0=12 рад/с, перпендикулярен направляющей ползунов. Даны размеры: OA=10 см, OD=12 см, AB=26 см, EB=12 см, DE=12√3 см.
РЕШЕНИЕ

16.24 Поршень D гидравлического пресса приводится в движение посредством шарнирно-рычажного механизма OABD. В положении, указанном на рисунке, рычаг OL имеет угловую скорость ω=2 рад/с. Определить скорость поршня D и угловую скорость звена AB, если OA=15 см.
РЕШЕНИЕ

16.25 Подвижное лезвие L ножниц для резки металла приводится в движение шарнирно-рычажным механизмом AOBD. Определить скорость шарнира D и угловую скорость звена BD, если в положении, указанном на рисунке, угловая скорость рычага AB равна 2 рад/с, OB=5 см, O1D=10 см.
РЕШЕНИЕ

16.26 В машине с качающимся цилиндром длина кривошипа OA=12 см, расстояние между осью вала и осью цапф цилиндра OO1=60 см, длина шатуна AB=60 см. Определить скорость поршня при четырех положениях кривошипа, указанных на рисунке, если угловая скорость кривошипа ω=5 рад/с=const.
РЕШЕНИЕ

16.27 В машине с качающимся цилиндром длина кривошипа OA=15 см, угловая скорость кривошипа ω0=15 рад/с=const. Найти скорость поршня и угловую скорость цилиндра в момент, когда кривошип перпендикулярен шатуну. (См. рисунок к задаче 16.26.)
РЕШЕНИЕ

16.28 Кривошипный механизм связан шарнирно в середине C шатуна со стержнем CD, а последний со стержнем DE, который может вращаться вокруг оси E. Определить угловую скорость стержня DE в указанном на рисунке положении кривошипного механизма, если точки B и E расположены на одной вертикали; угловая скорость ω кривошипа OA равна 8 рад/с, OA=25 см, DE=100 см, CDE=90° и BED=30°.
РЕШЕНИЕ

16.29 Катушка радиуса R катится по горизонтальной плоскости HH без скольжения. На средней цилиндрической части катушки радиуса r намотана нить, конец которой B обладает при этом движении скоростью u по горизонтальному направлению. Определить скорость v перемещения оси катушки.
РЕШЕНИЕ

16.30 Цепная передача в велосипеде состоит из цепи, охватывающей зубчатое колесо A с 26 зубцами и шестерню B с 9 зубцами. Шестерня B неизменно соединена с задним колесом C, диаметр которого равен 70 см. Определить скорость велосипеда, когда колесо A делает в секунду один оборот, а колесо C катится при этом без скольжения по прямолинейному пути.
РЕШЕНИЕ

16.31 Колесо радиуса R=0,5 м катится без скольжения по прямолинейному участку пути; скорость центра его постоянна и равна v0=10 м/с. Найти скорости концов M1, M2, M3 и M4 вертикального и горизонтального диаметров колеса. Определить его угловую скорость.
РЕШЕНИЕ

16.32 На рисунке изображен суммирующий механизм. Две параллельные рейки 1 и 2 движутся в одну сторону с постоянными скоростями v1 и v2. Между рейками зажат диск радиуса r, катящийся по рейкам без скольжения. Показать, что скорость средней рейки 3, присоединенной к оси C диска, равна полусумме скоростей реек 1 и 2. Найти также угловую скорость диска.
РЕШЕНИЕ

16.33 Подвижный блок 1 и неподвижный блок 2 соединены нерастяжимой нитью. Груз K, прикрепленный к концу этой нити, опускается по вертикали вниз по закону x=2t2 м. Определить скорости точек C, D, B и E, лежащих на ободе подвижного блока, в момент t=1 с в положении, указанном на рисунке, если радиус подвижного блока 1 равен 0,2 м, а CD⊥BE. Найти также угловую скорость блока 1.
РЕШЕНИЕ

16.34 Груз K, связанный посредством нерастяжимой нити с катушкой L, опускается вертикально вниз по закону x=t2 м. При этом катушка L катится без скольжения по неподвижному горизонтальному рельсу. Определить скорости точек C, A, B, O и E катушки в момент t=1 с в положении, указанном на рисунке, а также угловую скорость катушки, если AD⊥OE, a OD=2OC=0,2 м.
РЕШЕНИЕ

16.35 Кривошип OA, вращаясь с угловой скоростью ω0=2,5 рад/с вокруг оси O неподвижного колеса радиуса r2=15 см, приводит в движение насаженную на его конец A шестеренку радиуса r1=5 см. Определить величину и направление скоростей точек A, B, C, D и E подвижной шестеренки, если CE⊥BD.
РЕШЕНИЕ

16.36 На ось O насажены зубчатое колесо K диаметра 20 см и кривошип OA длиной 20 см, не связанные между собой. С шатуном AB наглухо скреплено зубчатое колесо L диаметра 20 см, длина шатуна AB=1 м. Колесо K вращается равномерно с угловой скоростью равной 2π рад/с, и, захватывая зубья колеса L, приводит в движение шатун AB и кривошип OA. Определить угловую скорость ω1 кривошипа OA в четырех его положениях: двух горизонтальных и двух вертикальных.
РЕШЕНИЕ

16.37 Кривошип OA=20 см вращается вокруг неподвижной оси O, перпендикулярной плоскости рисунка, с угловой скоростью 2 рад/с. На его конец A насажена шестеренка 2 радиуса 10 см, находящаяся во внутреннем зацеплении с неподвижным колесом 1, соосным с кривошипом OA. Определить скорости точек B, C, D и E, лежащих на ободе шестеренки 2, если BD⊥OC.
РЕШЕНИЕ

16.38 Механизм Уатта состоит из коромысла O1A, которое, качаясь на оси O1, передает при помощи шатуна AB движение кривошипу OB, свободно насаженному на ось O. На той же оси O сидит колесо I; шатун AB оканчивается колесом II, наглухо связанным с шатуном. Определить угловые скорости кривошипа OB и колеса I в момент, когда α=60°, β=90°, если r1=r2=30√З см, O1A=75 см, AB=150 см и угловая скорость коромысла ω0=6 рад/с.
РЕШЕНИЕ

16.39 Планетарный механизм состоит из кривошипа O1A, приводящего в движение шатун AB, коромысла OB и колеса I радиуса r1=25 см; шатун AB оканчивается шестеренкой II радиуса r2=10 см, наглухо с ним связанной. Определить угловую скорость кривошипа O1A и колеса I в момент, когда α=45°, β=90°, если O1A=30√2 см, AB=150 см, угловая скорость коромысла OB ω=8 рад/с.
РЕШЕНИЕ

16.40 В машине с качающимся цилиндром длина кривошипа OA=r и расстояние OO1=a. Кривошип вращается с постоянной угловой скоростью ω0. Определить угловую скорость ω1 шатуна AB в зависимости от угла поворота кривошипа φ. Определить наибольшее и наименьшее значения ω1, а также значение угла φ, при котором ω1=0. (См. рисунок к задаче 16.26.)
РЕШЕНИЕ

16.41 Найти приближенное выражение для проекции на координатные оси скорости любой точки M шатуна AB кривошипного механизма при равномерном вращении вала с угловой скоростью ω, предполагая, что длина кривошипа r мала по сравнению с длиной шатуна l. Положение точки M определяется ее расстоянием MB=z. Примечание. В формулу, получаемую при решении задачи, входит √(1-((r/l)sin φ)2), где φ=ωt обозначает угол BOA. Это выражение разлагаем в ряд и удерживаем только два первых члена.
РЕШЕНИЕ