Задачи на тему Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы

Предмет Теоретическая механика
Из пособия Решебник Мещерский

38.1 Вычислить кинетическую энергию плоского механизма, состоящего из трех стержней AB, BC и CD, прикрепленных цилиндрическими шарнирами A и D к потолку и соединенных между собой шарнирами B и C. Масса каждого из стержней AB и CD длины l равна M1, масса стержня BC равна М2, причем BC=AD. Стержни AB и DC вращаются с угловой скоростью ω.
РЕШЕНИЕ

38.2 Однородный тонкий стержень AB массы M опирается на угол D и концом A скользит по горизонтальной направляющей. Упор E перемещается вправо с постоянной скоростью v. Определить кинетическую энергию стержня в зависимости от угла φ, если длина стержня равна 2l, а превышение угла D над горизонтальной направляющей равно H.
РЕШЕНИЕ

38.3 Вычислить кинетическую энергию кулисного механизма, если момент инерции кривошипа OA относительно оси вращения, перпендикулярной плоскости рисунка, равен J0; длина кривошипа равна a, масса кулисы равна m, массой камня A пренебречь. Кривошип OA вращается с угловой скоростью ω. При каких положениях механизма кинетическая энергия достигает наибольшего и наименьшего значений?
РЕШЕНИЕ

38.4 Вычислить кинетическую энергию гусеницы трактора, движущегося со скоростью v0. Расстояние между осями колес равно l, радиусы колес равны r, масса одного погонного метра гусеничной цепи равна γ.
РЕШЕНИЕ

38.5 Вычислить кинетическую энергию кривошипно-ползунного механизма, если масса кривошипа m1, длина кривошипа r, масса ползуна m2, длина шатуна l. Массой шатуна пренебречь. Кривошип считать однородным стержнем. Угловая скорость вращения кривошипа ω.
РЕШЕНИЕ

38.6 Решить предыдущую задачу для положения, когда кривошип OA перпендикулярен направляющей ползуна; учесть массу шатуна m3.
РЕШЕНИЕ

38.7 Планетарный механизм, расположенный в горизонтальной плоскости, приводится в движение кривошипом OA, соединяющим оси трех одинаковых колес I, II и III. Колесо I неподвижно; кривошип вращается с угловой скоростью ω. Масса каждого из колес равна M1, радиус каждого из колес равен r, масса кривошипа равна M2. Вычислить кинетическую энергию механизма, считая колеса однородными дисками, а кривошип однородным стержнем. Чему равна работа пары сил, приложенной к колесу III?
РЕШЕНИЕ

38.8 Мельничные бегуны A и B насажены на горизонтальную ось CD, которая вращается вокруг вертикальной оси EF; масса каждого бегуна 200 кг; диаметры бегунов одинаковы, каждый равен 1 м; расстояние между ними CD равно 1 м. Найти кинетическую энергию бегунов, когда ось CD совершает 20 об/мин, допуская, что при вычислении моментов инерции бегуны можно рассматривать как однородные тонкие диски. Качение бегунов по опорной плоскости происходит без скольжения.
РЕШЕНИЕ

38.9 В кулисном механизме при качании рычага OC вокруг оси O, перпендикулярной плоскости рисунка, ползун A, перемещаясь вдоль рычага OC, приводит в движение стержень AB, движущийся в вертикальных направляющих K. Рычаг OC длины R считать однородным стержнем с массою m1, масса ползуна равна m2, масса стержня AB равна m3, OK=l. Выразить кинетическую энергию механизма в функции от угловой скорости и угла поворота рычага OC. Ползун считать точечной массой.
РЕШЕНИЕ

38.10 Вычислить кинетическую энергию системы, состоящей из двух колес, соединенных паровозным спарником AB и стержнем O1O2, если оси колес движутся со скоростью v0. Масса каждого колеса равна M1. Спарник AB и соединительный стержень O1O2 имеют одинаковую массу M2. Масса колес равномерно распределена по их ободам; O1A=O2B=r/2, где r радиус колеса. Колеса катятся без скольжения по прямолинейному рельсу.
РЕШЕНИЕ

38.11 Автомобиль массы M движется прямолинейно по горизонтальной дороге со скоростью v. Коэффициент трения качения между колесами автомобиля и дорогой равен fк, радиус колес r, сила аэродинамического сопротивления Rс воздуха пропорциональна квадрату скорости: Rс=μMgv2, где μ коэффициент, зависящий от формы автомобиля. Определить мощность N двигателя, передаваемую на оси ведущих колес, в установившемся режиме.
РЕШЕНИЕ

38.12 Машина массы M для шлифовки льда движется равномерно и прямолинейно со скоростью v по горизонтальной плоскости катка. Положение центра масс C указано на рисунке. Вычислить мощность N двигателя, передаваемую на оси колес радиуса r, если fк коэффициент трения качения между колесами автомашины и льдом, а f коэффициент трения скольжения между шлифующей кромкой A и льдом. Колеса катятся без скольжения.
РЕШЕНИЕ

38.13 На вал диаметра 60 мм насажен маховик диаметра 50 см, делающий 180 об/мин. Определить коэффициент трения скольжения f между валом и подшипниками, если после выключения привода маховик сделал 90 оборотов до остановки. Массу маховика считать равномерно распределенной по его ободу. Массой вала пренебречь.
РЕШЕНИЕ

38.14 Цилиндрический вал диаметра 10 см и массы 0,5 т, на который насажено маховое колесо диаметра 2 м и массы 3 т, вращается в данный момент с угловой скоростью 60 об/мин, а затем он предоставлен самому себе. Сколько оборотов еще сделает вал до остановки, если коэффициент трения в подшипниках равен 0,05? Массу маховика считать равномерно распределенной по его ободу.
РЕШЕНИЕ

38.15 Однородный стержень OA длины l и массы M может вращаться вокруг горизонтальной неподвижной оси O, проходящей через его конец перпендикулярно плоскости рисунка. Спиральная пружина, коэффициент упругости которой равен c, одним концом скреплена с неподвижной осью O, а другим со стержнем. Стержень находится в покое в вертикальном положении, причем пружина при этом не деформирована. Какую скорость надо сообщить концу A стержня для того, чтобы он отклонился от вертикали на угол, равный 60°?
РЕШЕНИЕ

38.16 К концам гибкой нерастяжимой нити, переброшенной через ничтожно малый блок A, подвешены два груза. Груз массы M1 может скользить вдоль гладкого вертикального стержня CD, отстоящего от оси блока на расстоянии a; центр тяжести этого груза в начальный момент находился на одном уровне с осью блока; под действием силы тяжести этот груз начинает опускаться без начальной скорости. Найти зависимость между скоростью первого груза и высотой его опускания h. Масса второго груза равна M.
РЕШЕНИЕ

38.17 Груз P массы M с наложенным на него дополнительным грузом массы M1 посредством шнура, перекинутого через блок, приводит в движение из состояния покоя тело A массы M2, находящееся на негладкой горизонтальной плоскости BC. Опустившись на расстояние s1, груз M проходит через кольцо D, которое снимает дополнительный груз M1, после чего груз M, опустившись на расстояние s2, приходит в состояние покоя. Определить коэффициент трения f между телом A и плоскостью, пренебрегая массой шнура и блока и трением в блоке; дано M2=0,8 кг, M=M1=0,1 кг, s1=50 см, s2=30 см.
РЕШЕНИЕ

38.18 Однородная нить длины L, часть которой лежит на гладком горизонтальном столе, движется под влиянием силы тяжести другой части, которая свешивается со стола. Определить промежуток времени T, по истечении которого нить покинет стол, если известно, что в начальный момент длина свешивающейся части равна l, а начальная скорость равна нулю.
РЕШЕНИЕ

38.19 Однородная нить длины 2a, висевшая на гладком штифте и находившаяся в покое, начинает двигаться с начальной скоростью v0. Определить скорость нити в тот момент, когда она сойдет со штифта.
РЕШЕНИЕ

38.20 Транспортер приводится в движение из состояния покоя приводом, присоединенным к нижнему шкиву B. Привод сообщает этому шкиву постоянный вращающий момент M. Определить скорость ленты транспортера v в зависимости от ее перемещения s, если масса поднимаемого груза A равна M1, а шкивы B и C радиуса r и массы M2 каждый представляют собой однородные круглые цилиндры. Лента транспортера, массой которой следует пренебречь, образует с горизонтом угол α. Скольжение ленты по шкивам отсутствует.
РЕШЕНИЕ

38.21 Горизонтальная трубка CD может свободно вращаться вокруг вертикальной оси AB (см. рисунок к задаче 37.56). Внутри трубки на расстоянии MC=x0 от оси лежит тело M. В некоторый момент времени трубке сообщена начальная угловая скорость ω0. Определить скорость v тела M относительно трубки в момент, когда тело вылетит из трубки. Момент инерции трубки относительно оси вращения равен J, L длина трубки; трением пренебречь. Тело считать материальной точкой массы m.
РЕШЕНИЕ

38.22 По горизонтальной платформе A, движущейся при отсутствии трения, перемещается тело B с постоянной относительной скоростью u0 (см. рисунок к задаче 36.9). При затормаживании тела B между ним и платформой A возникают силы трения. Определить работу внутренних сил трения между телом B и платформой A от момента начала торможения до полной остановки тела B относительно платформы A, если их массы соответственно равны m и M.
РЕШЕНИЕ

38.23 С помощью электромотора лебедки к валу барабана A радиуса r и массы M1 приложен вращающий момент mвр, пропорциональный углу поворота φ барабана, причем коэффициент пропорциональности равен a (см. рисунок к задаче 37.43). Определить скорость поднимаемого груза B массы M2 в зависимости от высоты его подъема h. Барабан A считать сплошным цилиндром. Массой троса пренебречь. В начальный момент система находилась в покое.
РЕШЕНИЕ

38.24 На рисунке изображен подъемный механизм лебедки. Груз A массы M1 поднимается посредством троса, переброшенного через блок C и навитого на барабан B радиуса r и массы M2. К барабану приложен вращающий момент, который с момента включения пропорционален квадрату угла поворота φ барабана: mвр=aφ2, где a постоянный коэффициент. Определить скорость груза A в момент, когда он поднимается на высоту h. Массу барабана B считать равномерно распределенной по его ободу. Блок C сплошной диск массы M3. Массой троса пренебречь. В начальный момент система находилась в покое.
РЕШЕНИЕ

38.25 Какую начальную скорость, параллельную линии наибольшего ската наклонной плоскости, надо сообщить оси колеса радиуса r для того, чтобы оно, катясь без скольжения, поднялось на высоту h по наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом? Коэффициент трения качения равен fк. Колесо считать однородным диском.
РЕШЕНИЕ

38.26 Два цилиндра одинаковой массы и радиуса скатываются без скольжения по наклонной плоскости. Первый цилиндр сплошной, массу второго цилиндра можно считать равномерно распределенной по его ободу. Найти зависимость между скоростями центров масс цилиндров при опускании их на одну и ту же высоту. В начальный момент цилиндры находились в покое.
РЕШЕНИЕ

38.27 Эпициклический механизм, расположенный в горизонтальной плоскости, приводится в движение из состояния покоя посредством постоянного вращающего момента L, приложенного к кривошипу OA. Определить угловую скорость кривошипа в зависимости от его угла поворота, если неподвижное колесо I имеет радиус r1, подвижное колесо II радиус r2 и массу M1, а кривошип OA массу M2. Колесо II считать однородным диском, а кривошип однородным стержнем.
РЕШЕНИЕ

38.28 В кулачковом механизме, расположенном в горизонтальной плоскости, эксцентрик A приводит в возвратно-поступательное движение ролик B со штангой D. Пружина E, соединенная со штангой, обеспечивает постоянный контакт ролика с эксцентриком. Масса эксцентрика равна M, эксцентриситет e равен половине его радиуса; коэффициент упругости пружины равен c. При крайнем левом положении штанги пружина не напряжена. Какую угловую скорость надо сообщить эксцентрику для того, чтобы он переместил штангу D из крайнего левого в крайнее правое положение? Массой ролика, штанги и пружины пренебречь. Эксцентрик считать однородным круглым диском.
РЕШЕНИЕ

38.29 Какой путь проедет велосипедист не вращая педалями до остановки, если в начальный момент он двигался со скоростью 9 км/ч? Общая масса велосипеда и велосипедиста равна 80 кг. Масса каждого из колес равна 5 кг; массу каждого из колес считать равномерно распределенной по окружности радиуса 50 см. Коэффициент трения качения колес о землю равен 0,5 см.
РЕШЕНИЕ

38.30 Груз A массы M1, опускаясь вниз, при помощи троса, перекинутого через неподвижный блок D, поднимает вверх груз B массы M2, прикрепленный к оси подвижного блока C. Блоки C и D считать однородными сплошными дисками массы M3 каждый. Определить скорость груза A в момент, когда он опустится на высоту h. Массой троса, проскальзыванием по ободам блоков и силами сопротивления пренебречь. В начальный момент система находилась в покое.
РЕШЕНИЕ

38.31 К ведущему колесу барабану A снегоочистителя приложен постоянный вращающий момент m. Массу барабана A можно считать равномерно распределенной по его ободу. Суммарная масса снега D, щита B и всех прочих поступательно движущихся частей постоянна и равна M2. Коэффициент трения скольжения снега и щита о землю равен f, коэффициент трения качения барабана о землю равен fк. Масса барабана равна M1, его радиус r. Определить зависимость между путем s, пройденным щитом B снегоочистителя, и модулем его скорости v, если в начальный момент система находилась в покое.
РЕШЕНИЕ

38.32 Скорость автомашины, движущейся по прямой горизонтальной дороге, возросла от v1 до v2 за счет увеличения мощности мотора. При этом был пройден путь s. Вычислить работу, совершенную мотором на этом перемещении автомашины, если M1 масса каждого из четырех колес, M2 масса кузова, r радиус колес, fк коэффициент трения качения колес о шоссе. Колеса, катящиеся без скольжения, считать однородными сплошными дисками. Кинетической энергией всех деталей, кроме колес и кузова, пренебречь.
РЕШЕНИЕ

38.33 Стремянка ABC с шарниром B стоит на гладком горизонтальном полу, длина AB=BC=2l, центры масс находятся в серединах D и E стержней, радиус инерции каждой лестницы относительно оси, проходящей через центр масс, равен ρ, расстояние шарнира B от пола равно h. В некоторый момент времени стремянка начинает падать вследствие разрыва стержня FG. Пренебрегая трением в шарнире, определить: 1) скорость точки B в момент удара ее о пол; 2) скорость точки B в тот момент, когда расстояние ее от пола будет равно h/2.
РЕШЕНИЕ

38.34 Стержень AB длины 2a падает, скользя концом A по гладкому горизонтальному полу. В начальный момент стержень занимал вертикальное положение и находился в покое. Определить скорость центра масс стержня в зависимости от его высоты h над полом.
РЕШЕНИЕ

38.35 В дифференциальном вороте два жестко соединенных вала K1 и K2 с радиусами r1 и r2 и моментами инерции относительно оси O1O2 соответственно J1 и J2 приводятся во вращение рукояткой AB. Подвижный блок C подвешен на невесомой нерастяжимой нити, левая ветвь которой навита на вал K1, а правая ветвь на вал K2. При вращении рукоятки AB левая ветвь нити сматывается с вала K1, а правая ветвь наматывается на вал K2. К рукоятке AB приложен постоянный вращающий момент m. К блоку C подвешен груз D массы M. Найти угловую скорость вращения рукоятки в момент, соответствующий концу подъема груза D на высоту s. В начальный момент система находилась в покое. Массами рукоятки и блока пренебречь.
РЕШЕНИЕ

38.36 Ворот приводится в движение посредством ременной передачи, соединяющей шкив II, сидящий на валу ворота, со шкивом I, сидящим на валу мотора. К шкиву I массы M1 и радиуса r приложен постоянный вращающий момент m. Масса шкива II равна M2, радиус его R. Масса барабана ворота M3, радиус его r, масса поднимаемого груза M4. Ворот приводится в движение из состояния покоя. Найти скорость груза в момент, когда он поднимается на высоту h. Массами ремня, каната и трением в подшипниках пренебречь. Шкивы и барабан считать однородными круглыми цилиндрами.
РЕШЕНИЕ

38.37 Решить предыдущую задачу, принимая во внимание массу каната, к которому привязан груз. Длина каната l, масса единицы длины каната M. В начальный момент с вала барабана ворота свисала часть каната длиной 2h.
РЕШЕНИЕ

38.38 Постоянный вращающий момент L приложен к барабану ворота радиуса r и массы M1. К концу A намотанного на барабан троса привязан груз массы M2, который поднимается по наклонной плоскости, расположенной под углом α к горизонту. Какую угловую скорость приобретет барабан ворота, повернувшись на угол φ? Коэффициент трения скольжения груза о наклонную плоскость равен f. Массой троса пренебречь, барабан считать однородным круглым цилиндром. В начальный момент система была в покое.
РЕШЕНИЕ

38.39 Решить предыдущую задачу с учетом массы троса, к которому привязан груз. Длина троса равна l, масса единицы длины троса равна M. В начальный момент с барабана ворота свисала часть троса длиной a. Изменением потенциальной энергии троса, намотанного на барабан, пренебречь.
РЕШЕНИЕ

38.40 К барабану ворота радиуса r1 и массы M1 приложен постоянный вращающий момент L. К концу троса, намотанного на барабан, прикреплена ось C колеса массы M2. Колесо катится без скольжения вверх по наклонной плоскости, расположенной под углом α к горизонту. Какую угловую скорость приобретет барабан, сделав n оборотов? Барабан и колесо считать однородными круглыми цилиндрами. В начальный момент система находилась в покое. Массой троса и трением пренебречь.
РЕШЕНИЕ

38.41 Решить предыдущую задачу с учетом массы троса и трения качения колеса о наклонную плоскость, если l длина троса, M масса его единицы длины, a длина части троса, не намотанной на барабан в начальный момент, fк коэффициент трения качения, r2 радиус колеса. Изменением потенциальной энергии троса, намотанного на барабан, пренебречь.
РЕШЕНИЕ

38.42 Колесо A скатывается без скольжения по наклонной плоскости OK, поднимая посредством нерастяжимого троса колесо B, которое катится без скольжения по наклонной плоскости ON. Трос переброшен через блок C, вращающийся вокруг неподвижной горизонтальной оси O. Найти скорость оси колеса A при ее перемещении параллельно линии OK на расстояние s. В начальный момент система была в покое. Оба колеса и блок считать однородными дисками одинаковой массы и радиуса. Массой троса пренебречь.
РЕШЕНИЕ

38.43 Решить предыдущую задачу, принимая во внимание трение качения колес о наклонные плоскости. Коэффициент трения качения равен fк, радиусы колес равны r.
РЕШЕНИЕ

38.44 К грузу A массы M1 прикреплена нерастяжимая нить, переброшенная через блок D массы M2 и намотанная на боковую поверхность цилиндрического катка B массы M3. При движении груза A вниз по наклонной плоскости, расположенной под углом α к горизонту, вращается блок D, а каток B катится без скольжения вверх по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол β. Определить скорость груза A в зависимости от пройденного им пути s, если в начальный момент система находилась в покое. Блок D и каток B считать однородными круглыми цилиндрами. Силами трения и массой нити пренебречь.
РЕШЕНИЕ

38.45 Решить предыдущую задачу в предположении, что коэффициенты трения скольжения и качения соответственно равны f и fк. Радиус катка B равен r.
РЕШЕНИЕ

38.46 Груз массы М подвешен на нерастяжимом однородном тросе длины l, навитом на цилиндрический барабан с горизонтальной осью вращения. Момент инерции барабана относительно оси вращения J, радиус барабана R, масса единицы длины каната m. Определить скорость груза в момент, когда длина свисающей части каната равна x, если в начальный момент скорость груза v0=0, а длина свисающей части каната была равна x0; трением на оси барабана, толщиной троса и изменением потенциальной энергии троса, навитого на барабан, пренебречь.
РЕШЕНИЕ

38.47 Груз A массы M1 подвешен к однородному нерастяжимому канату длины L и массы M2. Канат переброшен через блок B, вращающийся вокруг оси O, перпендикулярной плоскости рисунка. Второй конец каната прикреплен к оси катка C, катящегося без скольжения по неподвижной плоскости. Блок B и каток C однородные круглые диски радиуса r и массы M3 каждый. Коэффициент трения качения катка C о горизонтальную плоскость равен fк. В начальный момент, когда система находилась в покое, с блока B свисала часть каната длины l. Определить скорость груза A в зависимости от его вертикального перемещения h.
РЕШЕНИЕ

38.48 Механизм эллипсографа, расположенный в горизонтальной плоскости, приводится в движение посредством постоянного вращающего момента m0, приложенного к кривошипу OC. В начальный момент при φ=0 механизм находился в покое. Найти угловую скорость кривошипа OC в момент, когда он сделал четверть оборота. Дано: M масса стержня AB, mA=mB=m массы ползунов A и B, OC=AC=BC=l; массой кривошипа OC и силами сопротивления пренебречь.
РЕШЕНИЕ

38.49 Решить предыдущую задачу с учетом постоянного момента сопротивления mC в шарнире C.
РЕШЕНИЕ

38.50 К кривошипу OO1 эпициклического механизма, расположенного в горизонтальной плоскости, приложен вращающий момент Mвр=M0-αω, где M0 и α положительные постоянные, а ω угловая скорость кривошипа. Масса кривошипа равна m, M масса сателлита (подвижного колеса). Считая кривошип тонким однородным стержнем, а сателлит однородным круглым диском радиуса r, определить угловую скорость ω кривошипа как функцию времени. В начальный момент система находилась в покое. Радиус неподвижной шестерни равен R; силами сопротивления пренебречь.
РЕШЕНИЕ

38.51 Решить предыдущую задачу с учетом постоянного момента трения Mтр на оси O1 сателлита.
РЕШЕНИЕ

38.52 Кривошип OO1 гипоциклического механизма, расположенного в горизонтальной плоскости, вращается с постоянной угловой скоростью ω0. В некоторый момент времени двигатель был отключен и под действием постоянного момента Mтр сил трения на оси сателлита (подвижного колеса) механизм остановился. Определить время τ торможения и угол φ поворота кривошипа за это время, если его масса равна M1, M2 масса сателлита, R и r радиусы большого и малого колес. Кривошип принять за однородный тонкий стержень, а сателлит за однородный диск.
РЕШЕНИЕ

38.53 Крестовина C приводится во вращение вокруг неподвижной оси O1 посредством однородного стержня AB, вращающегося вокруг неподвижной оси O (оси O и O1 перпендикулярны плоскости рисунка). При этом ползуны A и B, соединенные при помощи шарниров со стержнем AB, скользят вдоль взаимно перпендикулярных прорезей крестовины C. Вращение стержня происходит под действием постоянного вращающего момента mвр. Определить угловую скорость стержня AB в момент, когда он сделает четверть оборота, если в начальный момент при φ=0 он имел угловую скорость ω0. Величина момента сопротивления, возникающего в каждом из шарниров ползунов A и B, в два раза меньше mвр. Прочими силами сопротивления пренебречь. Масса стержня равна m; момент инерции крестовины C относительно оси O1 равен J; OO1=OA=OB=l.
РЕШЕНИЕ