Для исследования качки корабля и его устойчивости на курсе вводят три корабельных угла: ψ — дифферент, θ — крен и φ — угол рыскания, система отсчета Cxyz жестко связана с кораблем, C — центр тяжести корабля, ось x направлена от кормы к носу, y к левому борту, z перпендикулярно палубе; система координат Cξηζ ориентируется относительно курса корабля: ось ζ вертикальна, горизонтальная ось ξ направлена по курсу, горизонтальная ось η влево от курса. Определить ориентацию корабля (координатных осей Cxyz) относительно трехгранника Cξηζ
Зная скорости изменения корабельных углов, определить проекции угловой скорости корабля на оси систем отсчета Cxyz и Cξηζ (см. рисунок к предыдущей задаче).
Точка M (центр тяжести самолета, корабля) движется вдоль поверхности Земли, принимаемой за шар радиуса R*; восточная составляющая скорости точки равна vE, а северная — vN. Определить скорость изменения широты φ и долготы λ текущего положения точки M. * Здесь и в дальнейшем сжатием Земли пренебрегаем.
Для изучения движения вблизи земной поверхности тел (самолетов, ракет, кораблей) и приборов, установленных на них, вводят подвижной координатный трехгранник — трехгранник Дарбу. При географической ориентации трехгранника Дарбу Oξηζ горизонтальная ось ξ направляется на восток, горизонтальная ось η — на север, ось ζ — вертикально вверх. Определить проекции на оси ξ, η, ζ угловой скорости трехгранника Oξηζ, если проекции скорости его начала (точки O) относительно Земли равны vξ=vE, vη=vN, vζ=0; угловая скорость вращения Земли равна U, радиус Земли R.
Трехгранник Дарбу Oxyz на поверхности Земли ориентирован не географически, как это было сделано в предыдущей задаче, а по траектории основания трехгранника относительно Земли: ось x направляется горизонтально по скорости v вершины O (центр тяжести самолета, корабля) трехгранника относительно Земли, ось у направляется горизонтально влево от оси x, а ось z — вертикально вверх. Определить проекции угловой скорости трехгранника Oxyz, если скорость точки O равна и, а ее курс определяется углом ф (угол между направлением на север и относительной скоростью точки О).
Трехгранник Дарбу Оx0y0z0 на поверхности Земли ориентирован следующим образом: ось x0 направляется по абсолютной скорости V точки O (предполагается, что она движется по I поверхности Земли), горизонтальная ось у0 направляется влево от оси x°, ось z° вертикальна. Определить проекции угловой скорости трехгранника Оx0y0z0 если составляющие скорости точки O относительно Земли равны Vв и vN.
Гироскоп направления установлен в кардановом подвесе. Система координат x1y1z1 связана с внешней рамкой (ось вращения вертикальна), система xyz скреплена с внутренней рамкой (ось x вращения ее горизонтальна), ось z которой является одновременно осью собственного вращения гироскопа. Определить ориентацию оси z вращения гироскопа относительно географически ориентированных осей ξηζ, если поворот внешней рамки (оси y1) отсчитывается по часовой стрелке от плоскости меридиана (плоскость ηζ) и определяется углом α, а подъем оси z над горизонтом определяется углом β; проекции на оси x, y, z угловой скорости вращения трехгранника xyz, предполагая, что точка подвеса гироскопа неподвижна относительно Земли.
В условиях предыдущей задачи определить проекции угловой скорости вращения трехгранника xyz, если северная и восточная составляющие скорости точки подвеса соответственно равны vN и vE.
Движение тела вокруг неподвижной точки задано углами Эйлера: φ=4t, ψ=π/2-2t, θ=π/3. Определить координаты точки, вычерчивающей годограф угловой скорости, угловую скорость и угловое ускорение тела относительно неподвижных осей x, y, z.
Найти подвижный и неподвижный аксоиды внешнего колеса вагона, катящегося по горизонтальному пути, средний радиус кривизны которого равен 5 м, радиус колеса вагона 0,25 м, ширина колеи 0,80 м. Примечание. Колесо вращается вместе с вагоном вокруг вертикальной оси Oz, проходящей через центр закругления пути, и относительно вагона вокруг оси AB, т.е. вращается вокруг неподвижной точки O.
Движение тела вокруг неподвижной точки задано при помощи углов Эйлера следующими уравнениями: φ=nt, ψ=π/2+ant, θ=π/3. Определить проекции угловой скорости и углового ускорения тела на неподвижные оси, если a и n — постоянные величины. Указать также то значение параметра a, при котором неподвижным аксоидом тела будет плоскость Oxy.
Углы Эйлера, определяющие положение тела, изменяются по закону (регулярная прецессия) ψ=ψ0+n1t, θ=θ0, φ=φ0+n2t, где ψ0, θ0, φ0 — начальные значения углов, а n1 и n2 — постоянные числа, равные соответствующим угловым скоростям. Определить угловую скорость ω тела, неподвижный и подвижный аксоиды.
Барабан записывающего устройства вращается равномерно со скоростью ω0. Радиус барабана r. Самописец соединен с деталью, движущейся по вертикали по закону y = a sin ω1t. Найти уравнение кривой, которую запишет перо на бумажной ленте.
При вращении поворотного крана вокруг оси O1O2 с постоянной угловой скоростью ω1 груз A поднимается вверх посредством каната, навернутого на барабан B. Барабан B радиуса r вращается с постоянной угловой скоростью ω2. Определить абсолютную траекторию груза, если вылет крана равен d.
При совмещении работы механизмов подъема груза и перемещения крана груз A перемещается в горизонтальном и вертикальном направлениях. Барабан B радиуса r=0,5 м, на который навит канат, поддерживающий груз A, вращается при пуске в ход с угловой скоростью ω=2π рад/с. Кран перемещается в горизонтальном направлении с постоянной скоростью v=0,5 м/с. Определить абсолютную траекторию груза, если начальные координаты груза x0=10 м, y0=6 м.
Стрела AB поворотного крана вращается вокруг оси O1O2 с постоянной угловой скоростью ω. По горизонтальной стреле от A к B движется тележка с постоянной скоростью v0. Определить абсолютную траекторию тележки, если в начальный момент тележка находилась на оси O1O2.
Лента прибора, служащего для записи колебательных движений, движется по направлению Ox со скоростью 2 м/с. Колеблющееся вдоль оси Oy тело вычерчивает на ленте синусоиду, наибольшая ордината которой AB=2,5 см, а длина O1C=8 см. Найти уравнение колебательного движения тела, предполагая, что точка O синусоиды соответствует положению тела при t=0.
Трамвай движется равномерно по прямолинейному горизонтальному участку со скоростью v=5 м/с, причем кузов совершает на рессорах гармонические колебания с амплитудой a=0,008 м и периодом T=0,5 c. Найти уравнение траектории центра тяжести кузова, если его среднее расстояние от полотна дороги h=1,5 м. При t=0 центр тяжести находится в среднем положении, и скорость колебания направлена вверх. Ось Ox направить горизонтально по полотну в сторону движения, ось Oy — вертикально вверх через положение центра тяжести при t=0.
Определить уравнения траектории сложного движения конца двойного маятника, совершающего одновременно два взаимно перпендикулярных гармонических колебания равной частоты, но разных амплитуд и фаз, если уравнения колебаний имеют вид x = a sin (ωt + α), y = b(sin ωt + β).
Конец двойного маятника описывает фигуру Лиссажу, получающуюся при сложении двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний: x = a sin 2ωt, y = a sin ωt. Найти уравнение траектории.
Железнодорожный поезд движется равномерно со скоростью 36 км/ч, сигнальный фонарь, привешенный к последнему вагону, срывается с кронштейна. Определить траекторию абсолютного движения фонаря и длину пути s, который будет пройден поездом за время падения фонаря, если фонарь находится на высоте 4,905 м от земли. Оси координат провести через начальное положение фонаря, ось Ox — горизонтально в сторону движения поезда, ось Oy — вертикально вниз.
Резец M совершает поперечное возвратно-поступательное движение согласно закону x=a sin ωt. Найти уравнение траектории конца резца M относительно диска, вращающегося равномерно с угловой скоростью ω вокруг оси O, пересекающей абсолютную траекторию резца.
В некоторых измерительных и делительных приборах для перемещения указателя применяется дифференциальный винт, состоящий из оси AB, имеющей в части A винтовую нарезку с шагом h1 мм, а в части B — нарезку с шагом h2Решение задачи »
Ускорительный механизм строгального станка состоит из двух параллельных валов O и O1, кривошипа OA и кулисы O1B. Конец кривошипа OA соединен шарнирно с ползуном, скользящим вдоль прорези в кулисе O1B. Найти уравнение относительного движения ползуна в прорези кулисы и уравнение вращения самой кулисы, если кривошип OA длины r вращается с постоянной угловой скоростью ω, расстояние между осями валов OO1=a.
В ротативном двигателе, схематически показанном на рисунке, цилиндры, прикрепленные к картеру, вращаются вместе с ним вокруг неподвижной оси вала O, а шатуны поршней вращаются вокруг пальца A неподвижного кривошипа OA. Указать: 1) траекторию абсолютного движения точек B поршней и 2) приближенное уравнение их относительного движения по отношению к цилиндрам, если цилиндры вращаются с угловой скоростью ω. Дано: OA=r и AB=l. Оси Ox и Oy имеют начало в центре вала. Принять, что λ=r/l мало.
Вертолет, зависший неподвижно над поляной, сбрасывает груз и в тот же момент начинает двигаться со скоростью v0, направленной под углом α к горизонтальной поверхности. Найти уравнения движения и траекторию груза относительно вертолета (оси относительной системы координат направлены из центра тяжести вертолета горизонтально по курсу и вертикально вниз).
Корабль движется прямолинейно со скоростью v0. На высоте h над морем со скоростью v1 летит самолет тем же курсом. Определить расстояние l, отсчитываемое по горизонтали, на котором надо сбросить вымпел, чтобы он попал на корабль. Сопротивлением воздуха движению вымпела пренебречь.
Корабль, проходящий точку A, движется с постоянной по модулю и направлению скоростью v0. Под каким углом β к прямой AB надо начать двигаться катеру из точки B, чтобы встретиться с кораблем, если скорость катера постоянна по модулю и направлению и равна v1? Линия AB составляет угол ψ0 с перпендикуляром к курсу корабля.
Проволочная окружность вращается в своей плоскости относительно неподвижного шарнира O с постоянной угловой скоростью ω. Как будет двигаться точка M пересечения этой окружности с неподвижной окружностью того же радиуса R, проходящей также через шарнир O?
Корабль идет курсом ЮВ со скоростью a узлов, при этом флюгер на мачте показывает ветер B. Корабль уменьшает ход до a/2 узлов, флюгер показывает ветер СВ. Определить: 1) направление и 2) скорость ветра. Примечание. Наименование курса указывает, куда идет корабль, наименование ветра — откуда он дует.
Для определения собственной скорости самолета при ветре на Земле отмечают прямую линию известной длины l, концы которой должны быть хорошо видны сверху. Направление отмеченной прямой должно совпадать с направлением ветра. Вдоль этой прямой самолет пролетел сначала по ветру за время t1 c, а затем против ветра за время t2 c. Определить собственную скорость v самолета и скорость V ветра.
Для определения собственной скорости v самолета при ветре размечают на земле треугольный полигон ABC со сторонами BC=l1, CA=l2, AB=l3 м. Для каждой стороны полигона определяют время полета: t1, t2, t3 c. Определить собственную скорость v самолета, предполагая, что она неизменна по величине, и скорость V ветра. Задачу решить графически. Пояснение. Собственной скоростью самолета называется скорость самолета относительно воздуха.