Точка M притягивается к двум центрам C1 и C2 силами, пропорциональными расстояниям: km*MC1 и km*MC2; центр C1 неподвижен и находится в начале координат, центр C2 равномерно движется по оси Ox, так что x2=2(a+bt). Найти траекторию точки M, полагая, что в момент t=0 точка M находится в плоскости xy, координаты ее x=y=a и скорость имеет проекции x = z = b, y = 0.
Частица массы m, несущая заряд отрицательного электричества e, вступает в однородное электрическое поле напряжения E со скоростью v0, перпендикулярной направлению напряжения поля. Определить траекторию дальнейшего движения частицы, если в электрическом поле на нее действует сила F=eE, направленная в сторону, противоположную напряжению E; действием силы тяжести пренебречь.
Частица массы m, несущая заряд отрицательного электричества e, вступает в однородное магнитное поле напряжения H со скоростью v0, перпендикулярной направлению напряжения поля. Определить траекторию дальнейшего движения частицы, зная, что на частицу действует сила F=-e(v×H). При решении удобно пользоваться уравнениями движения точки в проекциях на касательную и на главную нормаль к траектории.
Определить траекторию движения частицы массы m, несущей заряд e электричества, если частица вступила в однородное электрическое поле с переменным напряжением E=A cos kt (A и k — заданные постоянные) со скоростью v0, перпендикулярной направлению напряжения поля; влиянием силы тяжести пренебречь. В электрическом поле на частицу действует сила F=-eE.
По негладкой наклонной плоскости движется тяжелое тело M, постоянно оттягиваемое посредством нити в горизонтальном направлении, параллельно прямой AB. С некоторого момента движение тела становится прямолинейным и равномерным, причем из двух взаимно перпендикулярных составляющих скорости та, которая направлена параллельно AB, равна 12 м/с. Определить вторую составляющую v1 скорости, а также натяжение T нити при следующих данных: уклон плоскости tg α=1/30, коэффициент трения f=0,1, масса тела 30 кг.
Точка M массы m находится под действием двух сил притяжения, направленных к неподвижным центрам O1 и O2. Величина этих сил пропорциональна расстоянию от точек O1 и O2. Коэффициент пропорциональности одинаков и равен c. Движение начинается в точке A0 со скоростью v0, перпендикулярной линии O1O2. Определить, какую траекторию опишет точка M. Найти моменты времени, когда она пересекает направление линии O1O2, и вычислить ее координаты в эти моменты времени. Расстояние от точки A0 до оси y равно 2a.
На точку A массы m, которая начинает движение из положения r=r0 (где r - радиус-вектор точки) со скоростью v0, перпендикулярной r0, действует сила притяжения, направленная к центру O и пропорциональная расстоянию от него. Коэффициент пропорциональности равен mc1. Кроме того, на точку действует постоянная сила mcr0. Найти уравнение движения и траекторию точки. Каково должно быть отношение c1/c, чтобы траектория движения проходила через центр O? С какой скоростью точка пройдет центр О?
Тяжелая точка массы m падает из положения, определяемого координатами x0=0, y0=h при t=0, под действием силы тяжести (параллельной оси y) и силы отталкивания от оси y, пропорциональной расстоянию от этой оси (коэффициент пропорциональности c). Проекции начальной скорости точки на оси координат равны vx=v0, vy=0. Определить траекторию точки, а также момент времени t1 пересечения оси x.
Точка M массы m движется под действием силы тяжести по гладкой внутренней поверхности полого цилиндра радиуса r. В начальный момент угол φ0=π/2, а скорость точки равнялась нулю. Определить скорость точки M и реакцию поверхности цилиндра при угле φ=30
Железнодорожный поезд движется по горизонтальному и прямолинейному участку пути. При торможении развивается сила сопротивления, равная 0,1 веса поезда. В момент начала торможения скорость поезда равняется 20 м/с. Найти время торможения и тормозной путь.
По шероховатой наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α=30°, спускается тяжелое тело без начальной скорости. Определить, в течение какого времени T тело пройдет путь длины l=39,2 м, если коэффициент трения f=0,2.
Поезд массы 4*10^5 кг входит на подъем i=tg α=0,006 (где α угол подъема) со скоростью 15 м/с. Коэффициент трения (суммарного сопротивления) при движении поезда равен 0,005. Через 50 с после входа поезда на подъем его скорость падает до 12,5 м/с. Найти силу тяги тепловоза.
Гирька М привязана к концу нерастяжимой нити MOA, часть которой OA пропущена через вертикальную трубку; гирька движется вокруг оси трубки по окружности радиуса MC=R, делая 120 об/мин. Медленно втягивая нить OA в трубку, укорачивают наружную часть нити до длины OM1, при которой гирька описывает окружность радиусом R/2. Сколько оборотов в минуту делает гирька по этой окружности?
Для определения массы груженого железнодорожного состава между тепловозами и вагонами установили динамометр. Среднее показание динамометра за 2 мин оказалось 10^6 Н. За то же время состав набрал скорость 16 м/с (вначале он стоял на месте). Найти массу состава, если коэффициент трения f=0,02.
Каков должен быть коэффициент трения колес заторможенного автомобиля о дорогу, если при скорости езды v=20 м/с он останавливается через 6 с после начала торможения.
Пуля массы 20 г вылетает из ствола винтовки со скоростью v=650 м/с, пробегая канал ствола за время t=0,00095 c. Определить среднюю величину давления газов, выбрасывающих пулю, если площадь сечения канала σ=150 мм^2.
Точка M движется вокруг неподвижного центра под действием силы притяжения к этому центру. Найти скорость v2 в наиболее удаленной от центра точке траектории, если скорость точки в наиболее близком к нему положении v1=30 см/с, а r2 в пять раз больше r1.
Найти импульс равнодействующей всех сил, действующих на снаряд за время, когда снаряд из начального положения O переходит в наивысшее положение М. Дано: v0=500 м/с; α0=60°; v1=200 м/с; масса снаряда 100 кг.
Два астероида М1 и М2 описывают один и тот же эллипс, в фокусе которого S находится Солнце. Расстояние между ними настолько мало, что дугу М1М2 эллипса можно считать отрезком прямой. Известно, что длина дуги М1М2 равнялась a, когда середина ее находилась в перигелии P. Предполагая, что астероиды движутся с равными секториальными скоростями, определить длину дуги М1М2, когда середина ее будет проходить через афелий A, если известно, что SP=R1 и SA=R2.
Мальчик массы 40 кг стоит на полозьях спортивных саней, масса которых равна 20 кг, и делает каждую секунду толчок с импульсом 20 Н*с. Найти скорость, приобретаемую санями за 15 c, если коэффициент трения 0,01
Точка совершает равномерное движение по окружности со скоростью v=0,2 м/с, делая полный оборот за время T=4 c. Найти импульс S сил, действующих на точку, за время одного полупериода, если масса точки m=5 кг. Определить среднее значение силы F.
Два математических маятника, подвешенных на нитях длин l1 и l2 (l1>l2), совершают колебания одинаковой амплитуды. Оба маятника одновременно начали двигаться в одном направлении из своих крайних отклоненных положений. Найти условие, которому должны удовлетворять длины l1 и l2 для того, чтобы маятники по истечении некоторого промежутка времени одновременно вернулись в положение равновесия. Определить наименьший промежуток времени T.
Шарик массы m, привязанный к нерастяжимой нити, скользит по гладкой горизонтальной плоскости; другой конец нити втягивают с постоянной скоростью a в отверстие, сделанное на плоскости. Определить движение шарика и натяжение нити, если известно, что в начальный момент нить расположена по прямой, расстояние между шариком и отверстием равно R, а проекция начальной скорости шарика на перпендикуляр к направлению нити равна v0
Определить массу Солнца, имея следующие данные: радиус Земли R=6,37*10^6 м, средняя плотность 5,5 т/м3, большая полуось земной орбиты a=1,49*10^11 м, время обращения Земли вокруг Солнца T=365,25 сут. Силу всемирного тяготения между двумя массами, равными 1 кг, на расстоянии 1 м считаем равной gR2/m Н, где m - масса Земли; из законов Кеплера следует, что сила притяжения Земли Солнцем равна 4π2a3m/(T2r2), где r — расстояние Земли от Солнца
Точка массы m, подверженная действию центральной силы F, описывает лемнискату r2=a cos 2φ, где a - величина постоянная, r — расстояние точки от силового центра; в начальный момент r=r0, скорость точки равна v0 и составляет угол α с прямой, соединяющей точку с силовым центром. Определить величину силы F, зная, что она зависит только от расстояния r. По формуле Бине F =-(mc2/r2)(d2(1/r)/dφ2+1/r), где c - удвоенная секторная скорость точки
Точка M, масса которой m, движется около неподвижного центра O под влиянием силы F, исходящей из этого центра и зависящей только от расстояния MO=r. Зная, что скорость точки v=a/r, где a — величина постоянная, найти величину силы F и траекторию точки.
Определить движение точки, масса которой 1 кг, под действием центральной силы притяжения, обратно пропорциональной кубу расстояния точки от центра притяжения, при следующих данных: на расстоянии 1 м сила равна 1 Н. В начальный момент расстояние точки от центра притяжения равно 2 м, скорость v0=0,5 м/с и составляет угол 45° с направлением прямой, проведенной из центра к точке.
Частица M массы 1 кг притягивается к неподвижному центру O силой, обратно пропорциональной пятой степени расстояния. Эта сила равна 8 Н на расстоянии 1 м. В начальный момент частица находится на расстоянии OM0=2 м и имеет скорость, перпендикулярную к OM0 и равную 0,5 м/с. Определить траекторию частицы.
Точка массы 0,2 кг, движущаяся под влиянием силы притяжения к неподвижному центру по закону тяготения Ньютона, описывает полный эллипс с полуосями 0,1 м и 0,08 м в течение 50 c. Определить наибольшую и наименьшую величины силы притяжения F при этом движении.
Математический маятник, каждый размах которого длится одну секунду, называется секундным маятником и применяется для отсчета времени. Найти длину l этого маятника, считая ускорение силы тяжести равным 981 см/с2. Какое время покажет этот маятник на Луне, где ускорение силы тяжести в 6 раз меньше земного? Какую длину l1 должен иметь секундный лунный маятник?
В некоторой точке Земли секундный маятник отсчитывает время правильно. Будучи перенесен в другое место, он отстает на T секунд в сутки. Определить ускорение силы тяжести в новом положении секундного маятника.
Бетонный блок ABCD, размеры которого указаны на рисунке, имеет массу 4000 кг. Определить работу, которую надо затратить на опрокидывание его вращением вокруг ребра D.
Определить наименьшую работу, которую надо затратить для того, чтобы поднять на 5 м тело массы 2 т, двигая его по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол в 30°. Коэффициент трения 0,5
Для того чтобы поднять 5000 м3 воды на высоту 3 м, поставлен насос с двигателем в 2 л. c. Сколько времени потребуется для выполнения этой работы, если коэффициент полезного действия насоса 0,8? Коэффициентом полезного действия называется отношение полезной работы, в данном случае работы, затраченной на поднятие воды, к работе движущей силы, которая должна быть больше полезной работы вследствие вредных сопротивлений.