Задачи на тему Уравнения Лагранжа 2-го рода

Предмет Теоретическая механика
Из пособия Решебник Мещерский

48.1 Передача вращения между двумя валами осуществляется двумя зубчатыми колесами, имеющими соответственно z1 и z2 зубцов, моменты инерции валов с насаженными на них колесами соответственно равны J1 и J2. Составить уравнение движения первого вала, если на него действует вращающий момент M1, а на другой вал момент сопротивления M2. Трением в подшипниках пренебречь.
РЕШЕНИЕ

48.2 Барабан Б центрифуги приводится во вращение электродвигателем ЭД через двухступенчатый редуктор. Заданы момент инерции J0 электродвигателя, момент инерции J2 барабана, момент инерции J1 промежуточного вала редуктора, передаточные числа i01 и i12 ступеней редуктора. К ротору электродвигателя приложен вращающий момент M0 и момент сил сопротивления M 0, к валу редуктора и к барабану моменты сил сопротивления M 1 и M 2 соответственно. Составить дифференциальное уравнение вращения барабана центрифуги.
РЕШЕНИЕ

48.3 Привод электромобиля состоит из электродвигателя ЭД и одноступенчатого редуктора с передаточным числом i. Составить дифференциальное уравнение движения электромобиля, если J0 момент инерции ротора электродвигателя, J1 момент инерции каждого из четырех колес, имеющих радиус r, m суммарная масса электромобиля, M вращающий момент электродвигателя, M момент сил сопротивления на валу электродвигателя, F суммарная сила сопротивления движению электромобиля.
РЕШЕНИЕ

48.4 Электродвигатель ЭД стабилизирующего привода установлен на вращающейся раме, положение которой задается углом φ. Шестерня 1 на валу электродвигателя обкатывается вокруг шестерни 2, связанной с неподвижным основанием. Составить дифференциальное уравнение движения рамы, если J1 момент инерции рамы вместе с электродвигателем, J0 момент инерции ротора электродвигателя, i12 передаточное число пары шестерен, M0 вращающий момент электродвигателя, M 0 момент сил сопротивления на валу электродвигателя, M 1 момент сил, приложенных к раме вокруг ее оси.
РЕШЕНИЕ

48.5 Определить движение груза массы m, висящего на однородном тросе массы m1 и длины l; трос навернут на барабан радиуса a и массы m2; ось вращения горизонтальна; трением пренебречь, массу барабана считать равномерно распределенной по его ободу. В начальный момент t=0 система находилась в покое, длина свисавшей части троса l0.
РЕШЕНИЕ

48.6 В эпициклическом механизме бегающая шестеренка радиуса r1 насажена на кривошип с противовесом, вращающийся вокруг оси неподвижной шестеренки под действием приложенного момента M. Определить угловое ускорение вращения кривошипа и окружное усилие S в точке касания шестеренок, если расстояние между осями шестеренок равно l, момент инерции кривошипа с противовесом относительно оси вращения кривошипа равен J0, масса бегающей шестеренки m1, момент инерции шестеренки относительно ее оси J1; трением пренебречь, центр масс шестеренки и кривошипа с противовесом находится на оси вращения кривошипа.
РЕШЕНИЕ

48.7 В планетарном механизме колесо с осью O1 неподвижно; к рукоятке O1O3 приложен вращающий момент M; механизм расположен в горизонтальной плоскости. Определить угловое ускорение рукоятки, считая колеса однородными дисками с одинаковыми массами m и радиусами r и пренебрегая массой рукоятки.
РЕШЕНИЕ

48.8 Бегуны К, К приводятся в движение от вала двигателя при помощи передачи, схема которой показана на рисунке. Масса одного бегуна равна 3 т, средний радиус R = 1 м, радиус вращения r =0,5 м. Считаем, что мгновенная ось вращения бегуна проходит через среднюю точку C обода. Отношение радиусов колес конической передачи от двигателя к вертикальному валу равно 2/3. Бегун считаем однородным диском радиуса R и пренебрегаем массой всех движущихся частей по сравнению с массой бегунов. Вычислить, какой постоянный вращающий момент должен быть приложен на валу двигателя, чтобы сообщить вертикальному валу угловую скорость 120 об/мин по истечении 10 с от момента пуска двигателя; силами сопротивления пренебречь.
РЕШЕНИЕ

48.9 Груз M массы 101 кг поднимает с помощью полиспаста груз M1, который вместе с подвижной обоймой имеет массу 320 кг. Всех блоков четыре, большие блоки имеют массу по 16 кг, малые по 8 кг, радиусы больших блоков равны r, радиусы малых равны r1. Определить ускорение груза M. При определении энергии блоков предполагаем, что массы их равномерно распределены по окружности.
РЕШЕНИЕ

48.10 В машине для статического уравновешивания роторов подшипники наклонены под углом α к вертикали. Ротор, помещенный в подшипник, имеет момент инерции J (относительно своей оси) и несет неуравновешенную массу m на расстоянии r от оси. Написать дифференциальное уравнение движения ротора и определить частоту малых колебаний около положения равновесия.
РЕШЕНИЕ

48.11 Однородный конус катится по шероховатой плоскости, наклоненной под углом а к горизонту. Длина образующей конуса l, угол раствора 2β. Составить уравнение движения конуса.
РЕШЕНИЕ

48.12 Материальная точка массы m движется под влиянием силы тяжести по циклоидальной направляющей, заданной уравнением s=4a sin φ, где s дуга, отсчитываемая от точки O, а φ угол касательной к циклоиде с горизонтальной осью. Определить движение точки.
РЕШЕНИЕ

48.13 Составить уравнение движения маятника, состоящего из материальной точки M массы m, подвешенной на нити, навернутой на неподвижный цилиндр радиуса a. Длина свисающей в положении равновесия части нити равна l. Массой нити пренебречь.
РЕШЕНИЕ

48.14 Составить уравнение движения маятника, состоящего из материальной точки массы m, подвешенной на нити, длина которой изменяется по произвольно заданному закону l=l(t).
РЕШЕНИЕ

48.15 Точка подвеса маятника, состоящего из материальной точки массы m на нерастяжимой нити длины l, движется по заданному закону ξ=ξ0(t) по наклонной прямой, образующей угол α с горизонтом. Составить уравнение движения маятника.
РЕШЕНИЕ

48.16 Два вала, находящихся в одной плоскости и образующих между собой угол a, соединены шарниром Кардана. Моменты инерции валов равны J1 и J2. Составить уравнение движения первого вала, если на него действует вращающий момент M1, а к другому валу приложен момент сопротивления М2. Трением в подшипниках пренебречь.
РЕШЕНИЕ

48.17 Кривошипный механизм состоит из поршня массы m1 шатуна AB массы m2, кривошипа OB, вала и махового колеса; J2 момент инерции шатуна относительно его центра масс С; J3 момент инерции кривошипа OB, вала и махового колеса относительно оси; Q площадь поршня, p давление, действующее на поршень, l длина шатуна; S расстояние между точкой А и центром масс шатуна; r длина кривошипа OB; М момент сопротивления, действующий на вал. Составить уравнение движения механизма, считая угол поворота шатуна φ малым, т. е. полагая sin φ = φ и cosφ = 1; в качестве обобщенной координаты взять угол поворота кривошипа ф. Механизм расположен в горизонтальной плоскости.
РЕШЕНИЕ

48.18 По однородному стержню массы М и длины 2а, концы которого скользят по гладкой, расположенной в горизонтальной плоскости окружности радиуса R, движется с постоянной относительной скоростью и материальная точка массы т. Определить движение стержня. В начальный момент материальная точка находится в центре масс стержня.
РЕШЕНИЕ

48.19 Концы однородного тяжелого стержня AB длины 2a и массы M скользят без трения по горизонтальному и вертикальному стержням рамки, вращающейся с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикальной стороны. Составить уравнение движения стержня и определить положение относительного равновесия.
РЕШЕНИЕ

48.20 К окружности диска радиуса R шарнирно присоединен рычаг, несущий на своих концах сосредоточенные массы m1 и m2. Расстояния масс от шарнира соответственно равны l1 и l2. Диск вращается около вертикальной оси, перпендикулярной его плоскости, с угловой скоростью ω. Составить уравнение движения рычага и определить его относительное положение равновесия. Массой рычага пренебречь. Ось вращения рычага параллельна оси вращения диска. Решить также задачу в предположении, что диск вращается в вертикальной плоскости (учесть действие силы тяжести).
РЕШЕНИЕ

48.21 Тонкий диск массы М может своей плоскостью скользить без трения по горизонтальной плоскости. По диску, верхняя поверхность которого шероховата, движется материальная точка массы т: Уравнения относительного движения точки в декартовых координатах x и y, связанных с диском и имеющих начало в его центре масс, заданы в виде x = x(t), y = y(t). Момент инерции диска относительно его центра масс равен J. Определить закон изменения угловой скорости диска. В начальном положении диск неподвижен.
РЕШЕНИЕ

48.22 По диску, описанному в предыдущей задаче, вдоль окружности радиуса R движется материальная точка с относительной скоростью v = at. Найти закон движения диска.
РЕШЕНИЕ

48.23 Материальная точка M движется под действием силы тяжести по прямолинейному стержню AB, вращающемуся с постоянной угловой скоростью ω вокруг неподвижной вертикальной оси. Стержень AB образует угол α с горизонталью. Найти закон движения точки.
РЕШЕНИЕ

48.24 Материальная точка массы m движется по круговой рамке радиуса a, которая вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикального диаметра AB. Составить уравнение движения точки и определить момент M, необходимый для поддержания постоянства угловой скорости.
РЕШЕНИЕ

48.25 Тело массы т может вращаться вокруг горизонтальной оси 0 102, которая в свою очередь вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси OC. Центр масс тела G лежит на расстоянии l от точки O3 на прямой, перпендикулярной O1O2. Предполагая, что оси O1O2 и O3G являются главными осями инерции тела в точке O3, составить уравнение движения. Моменты инерции тела относительно главных осей равны A, B, C.
РЕШЕНИЕ

48.26 Однородная нить, к концу которой привязан груз A массы m, огибает неподвижный блок B, охватывает подвижный блок C, поднимается вверх на неподвижный блок D и проходит параллельно горизонтальной плоскости, где к ее концу привязан груз E массы m. К оси блока C прикреплен груз K массы m1. Коэффициент трения скольжения груза E о горизонтальную плоскость равен f. При каком условии груз K будет опускаться вниз, если начальные скорости всех грузов равнялись нулю? Найти ускорение груза K. Массами блоков и нити пренебречь.
РЕШЕНИЕ

48.27 Два груза D и E массы m каждый привязаны к концам нерастяжимой нити. Эта нить от груза E идет через неподвижный блок A, затем охватывает подвижный блок B, возвращается вверх на неподвижный блок C, соосный с блоком A, проходит параллельно гладкой наклонной плоскости, где к концу нити привязан груз D. Наклонная плоскость образует угол α с горизонтом. К подвижному блоку B прикреплен груз K массы m1. Коэффициент трения скольжения груза E о горизонтальную плоскость равен f. Массами блоков и нити пренебречь. Выяснить условие, при котором груз K будет опускаться. Найти ускорение этого груза. В начальный момент скорости всех грузов равнялись нулю.
РЕШЕНИЕ

48.28 Призма A массы m скользит по гладкой боковой грани призмы B массы m1, образующей угол α с горизонтом. Определить ускорение призмы B. Трением между призмой B и горизонтальной плоскостью пренебречь.
РЕШЕНИЕ

48.29 На гладкой горизонтальной плоскости помещена треугольная призма ABC массы m, которая может скользить без трения по этой плоскости; по грани призмы AB катится без скольжения однородный круглый цилиндр массы m1. Определить ускорение призмы.
РЕШЕНИЕ

48.30 Через блоки A и B с неподвижными осями переброшен шнур, поддерживающий подвижный блок C; части шнура, не лежащие на концах, вертикальны. Блок C нагружен гирей массы m=4 кг, к концам шнура прикреплены грузы массы m1=2 кг и m2=3 кг. Определить ускорения всех трех грузов, пренебрегая массами блоков и шнура и трением на осях.
РЕШЕНИЕ

48.31 Грузы M1 и M2 одинаковой массы m движутся по двум наклонным направляющим OA и OB, расположенным в вертикальной плоскости под углами α и β к горизонту; нить, соединяющая эти грузы, идет от груза M1 через блок O, вращающийся около горизонтальной оси, охватывает подвижный шкив Q, несущий груз M массы m1, и затем через блок O1, надетый на ту же ось, что и блок O, идет к грузу M2. Блоки O1 и O соосные. Определить ускорение w груза M, пренебрегая трением, а также массами блока, шкива и нити.
РЕШЕНИЕ

48.32 Решить предыдущую задачу, заменив грузы M1 и М2 катками массы m и радиуса r каждый. Катки считать сплошными однородными круглыми дисками. Коэффициент трения качения катков о наклонные плоскости равен fк. Нити закреплены на осях катков.
РЕШЕНИЕ

48.33 Дана система из двух блоков, неподвижного A и подвижного B, и трех грузов M1, M2 и M3, подвешенных с помощью нерастяжимых нитей, как указано на рисунке. Массы грузов соответственно равны m1, m2 и m3, при этом m1РЕШЕНИЕ

48.34 Найти ускорение тележки, по платформе которой катится без скольжения круглый цилиндр, если сама тележка скатывается тоже без скольжения по плоскости, наклоненной к горизонту под углом α и параллельной платформе тележки; образующие цилиндра перпендикулярны линиям наибольшего ската платформы. Масса тележки без колес M, масса всех колес m, масса цилиндра M1, колеса считать однородными сплошными дисками.
РЕШЕНИЕ

48.35 Составить уравнения движения эллиптического маятника, состоящего из ползуна M1 массы m1, скользящего без трения по горизонтальной плоскости, и шарика M2 массы m2, соединенного с ползуном стержнем AB длины l. Стержень может вращаться вокруг оси A, связанной с ползуном и перпендикулярной плоскости рисунка. Массой стержня пренебречь. Определить период малых колебаний эллиптического маятника.
РЕШЕНИЕ

48.36 При наезде тележки A на упругий упор B начинаются колебания подвешенного на стержне груза D. Составить дифференциальные уравнения движения материальной системы, если m1 масса тележки, m2 масса груза, l длина стержня, c коэффициент жесткости пружины упора B. Массой колес и всеми силами сопротивления пренебречь. Начало отсчета оси x взять в левом конце недеформированной пружины. Определить период малых колебаний груза при отсутствии упора B. Массой стержня пренебречь.
РЕШЕНИЕ

48.37 По неподвижной призме A, расположенной под углом α к горизонту, скользит призма В массы m2. К призме B, посредством цилиндрического шарнира O и спиральной пружины с коэффициентом жесткости c, присоединен тонкий однородный стержень OD массы m1 и длины l. Стержень совершает колебания вокруг оси O, перпендикулярной плоскости рисунка. Положения призмы В и стержня OD определены посредством координат s и φ. Написать дифференциальные уравнения движения материальной системы, состоящей из призмы В и стержня OD, пренебрегая силами трения. Определить период малых колебаний стержня OD, если m1gl cos2α< 2с.
РЕШЕНИЕ

48.38 Решить задачу 48.37, считая, что призма A массы m3 движется по гладкой горизонтальной плоскости, а ее положение определяется координатой x.
РЕШЕНИЕ

48.39 Материальная точка A массы m1 движется в вертикальной плоскости по внутренней гладкой поверхности неподвижного цилиндра радиуса l. Материальная точка B массы m2, присоединенная к точке A посредством стержня AB длины l, может колебаться вокруг оси A, перпендикулярной плоскости рисунка. Положения точек A и B определены с помощью углов α и φ, отсчитываемых от вертикали. Составить дифференциальные уравнения движения системы. Написать дифференциальные уравнения малых колебаний системы. Массой стержня AB пренебречь. Указание. Пренебречь членами, содержащими множители φ 2 и α 2, а также считать sin(φ-α)≈φ-α, cos(φ-α)≈1, sin α≈α, sin φ≈φ.
РЕШЕНИЕ

48.40 Шероховатый цилиндр массы m и радиуса r катится без скольжения по внутренней поверхности полого цилиндра массы M и радиуса R, могущего вращаться около своей горизонтально расположенной оси O. Моменты инерции цилиндров относительно своих осей равны mr2/2 и MR2. Составить уравнения движения системы и найти их первые интегралы.
РЕШЕНИЕ

48.41 Однородный диск радиуса R, имеющий массу M, может вращаться вокруг своей горизонтальной оси O. К диску на нити AB длины l подвешена материальная точка массы m. Составить уравнения движения системы.
РЕШЕНИЕ

48.42 Диск системы, описанной в предыдущей задаче, вращается с постоянной угловой скоростью ω. Составить уравнение движения материальной точки.
РЕШЕНИЕ

48.43 Составить уравнения движения математического маятника массы m, подвешенного на упругой нити; длина нити в положении равновесия l, ее жесткость равна c. Найти движение маятника для случая малых колебаний. В качестве обобщенных координат взять угол φ отклонений маятника от вертикали и относительное удлинение нити z.
РЕШЕНИЕ

48.44 Один конец нерастяжимой тонкой нити обмотан вокруг однородного круглого цилиндра радиуса R, второй конец прикреплен к неподвижной точке O. Цилиндр, разматывая нить, опускается вниз, одновременно раскачиваясь вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку подвеса нити. Пренебрегая массой нити, составить дифференциальные уравнения движения цилиндра.
РЕШЕНИЕ

48.45 Пользуясь результатами, полученными при решении предыдущей задачи, составить дифференциальное уравнение малых колебании цилиндра, если движение началось из состояния покоя и при t = 0, ρ = ρ0, φ = φ0
РЕШЕНИЕ

48.46 Определить движение системы, состоящей из двух масс m1 и m2, насаженных на гладкий горизонтальный стержень (ось Ох), массы связаны пружиной жесткости с и могут двигаться поступательно вдоль стержня; расстояние между центрами масс при ненапряженной пружине равно l; начальное состояние системы при t = 0 определяется следующими значениями скоростей и координат центров масс: x1 = 0, x1 = u0, x2 = l, x2 = 0
РЕШЕНИЕ

48.47 Система, состоящая из двух одинаковых колес радиуса а каждое, могущих независимо вращаться вокруг общей нормальной к ним оси O1O2 длины l, катится по горизонтальном плоскости. Колеса связаны пружиной жесткости c, работающей на кручение (упругий торсион). Масса каждого колеса М; С- момент инерции колеса относительно оси вращения, А момент инерции колеса относительно диаметра. Составить уравнения движения системы и определить движение, отвечающее начальным условиям φ1=0, φ1 =0, φ2 = 0, φ2 = ω (φ1, φ2 углы поворота колес). Массой оси пренебречь.
РЕШЕНИЕ

48.48 Механизм робота-манипулятора состоит из колонны для вертикального перемещения, устройства для горизонтального перемещения, состоящего из звеньев 1 и 2, и выдвигающейся горизонтальной руки со схватом 3. Массы звеньев механизма m1, m2 и m3. Движущие силы, создаваемые приводами в поступательных парах, равны соответственно F01, F12 и F23. Составить дифференциальные уравнения движения механизма. Трением пренебречь.
РЕШЕНИЕ

48.49 Механизм робота-манипулятора состоит из поворотной колонны 1, устройства для вертикального перемещения 2 и выдвигающейся руки со схватом 3. Момент инерции звена 1 относительно оси поворота J1; масса звена 2 m2, момент инерции относительно оси поворота J2; масса двигающейся руки со схватом m3, расстояние от оси поворота до центра масс ρ, момент инерции относительно центральной оси J3. К оси поворота приложен момент M, движущие силы, создаваемые приводами в поступательных парах, равны соответственно F12 и F23. Составить дифференциальные уравнения движения механизма. Трением пренебречь.
РЕШЕНИЕ