К движущейся по заданному закону e(t) платформе подвешена на пружине жесткости c1 механическая система, состоящая из массы m1, к которой жестко присоединен в точке B поршень демпфера. Камера демпфера, масса которого равна m2, опирается на пружину жесткости c2, противоположный конец которой прикреплен к поршню. Вязкое трение в демпфере пропорционально относительной скорости поршня и камеры; ρ — коэффициент сопротивления. Составить уравнения движения системы.
Для поглощения крутильных колебаний к одной из колеблющихся масс системы прикрепляется маятник. На рисунке схематически изображена система, состоящая из двух масс I и II, вращающихся с постоянной угловой скоростью. Ко второй массе прикреплен маятник. Моменты инерции масс относительно оси вращения J1 и J2, а маятника относительно оси, параллельной оси вращения системы и проходящей через центр масс маятника, J3. Расстояние между осью вращения системы и осью подвеса маятника OA=l; расстояние между осью подвеса и параллельной осью, проходящей через центр масс маятника, AC=a; его масса m. Коэффициент упругости участка вала между массами k1. Ко второй массе приложен внешний момент M=M0 sin ωt. Написать дифференциальные уравнения движения обеих масс системы и маятника. При составлении выражения для потенциальной энергии системы пренебречь потенциальной энергией маятника в поле силы тяжести.
Тяжелый шарик находится в полости гладкой трубки, изогнутой по параболе x2=2pz и вращающейся с постоянной угловой скоростью вокруг оси Oz (положительное направление - вверх.) Определить положение относительного равновесия шарика и исследовать его устойчивость.
Определить положения относительного равновесия маятника, подвешенного с помощью универсального шарнира O к вертикальной оси, вращающейся с постоянной угловой скоростью ω; маятник симметричен относительно своей продольной оси; A и C — его моменты инерции относительно главных центральных осей инерции ξ, η и ζ; h — расстояние центра тяжести маятника от шарнира. Исследовать устойчивость положений равновесия маятника и определить период колебаний около среднего положения равновесия.
Материальная точка M движется под действием силы тяжести по внутренней поверхности кругового цилиндра радиуса a, ось которого наклонена под углом α к вертикали. Исследовать устойчивость движения по нижней (φ=0) и верхней (φ=π) образующим. Определить период колебаний при движении по нижней образующей.
Уравнение движения муфты центробежного регулятора двигателя имеет вид mx + βx + cx = A(ω - ω0), где x — перемещение муфты регулятора, m — инерционный коэффициент системы, β — коэффициент сопротивления, c — жесткость пружин регулятора, ω — мгновенная и ω0 — средняя угловые скорости машины, A — постоянная. Уравнение движения машины имеет вид J(dω/dt) = - Bx (B — постоянная, J — приведенный момент инерции вращающихся частей двигателя). Установить условия устойчивости системы, состоящей из двигателя и регулятора.
Двойной маятник, образованный двумя стержнями длины l и материальными точками с массами m, подвешен на горизонтальной оси, вращающейся с постоянной угловой скоростью вокруг оси z. Исследовать устойчивость вертикального положения равновесия маятника. Массой стержней пренебречь.
Тяжелый шарик находится в полости гладкой трубки, изогнутой по эллипсу x2/a2 + z2/c2 = 1 и вращающейся вокруг вертикальной оси Oz с постоянной угловой скоростью, Оz направлена вниз. Определить положения относительного равновесия шарика и исследовать их устойчивость.
Материальная точка может двигаться по гладкой плоской кривой, вращающейся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω. Потенциальная энергия П(s) точки задана и зависит только от ее положения, определяемого дугой s, отсчитываемой вдоль привой, r(s)—расстояние точки от оси вращения. Найти условие устойчивости относительного положения равновесия точки.
Показать, что материальная точка массы m под действием центральной силы притяжения F = ar^n может совершать движение по окружности с постоянной скоростью. Найти условие, при котором это движение устойчиво по отношению к координате r.
Твердое тело свободно качается вокруг горизонтальной оси NT, вращающейся вокруг вертикальной оси Oz с угловой скоростью ω. Точка G — центр инерции тела; плоскость NTG является плоскостью симметрии... М -масса тела. Определить возможные положения относительного равновесия и исследовать их устойчивость.
Вертикальная ось симметрии тонкого однородного круглого диска радиуса r и веса Q может свободно вращаться вокруг точки A. В точке В она удерживается двумя пружинами. Оси пружин горизонтальны и взаимно перпендикулярны, их жесткости соответственно равны с1 и с2, причем с2>С1. Пружины кренятся к оси диска на расстоянии L от нижней опоры; расстояние диска от нижней опоры l. Определить угловую скорость ω, которую нужно сообщить диску для обеспечения устойчивости вращения.
Материальная точка вынуждена двигаться по внутренней гладкой поверхности тора, заданного параметрическими уравнениями x=ρ cosφ, y= ρ sinφ, z=b sin(t);, ρ= a + b cos(t); (ось z направлена вертикально вверх). Найти возможные движения точки, характеризующиеся постоянством угла t, и исследовать их устойчивость.
Исследовать устойчивость движения обруча, равномерно катящегося с угловой скоростью ω по горизонтальной плоскости. Плоскость обруча вертикальна; радиус обруча a.
Колесо с четырьмя симметрично расположенными спицами катится по шероховатой плоскости. Плоскость колеса вертикальна. Ободья колеса и спицы сделаны из тонкой тяжелой проволоки. Радиус колеса a, скорость центра его в исходном движении v. Исследовать устойчивость движения.
Исследовать устойчивость движения однородного обруча радиуса a, вращающегося вокруг вертикального диаметра с угловой скоростью ω. Нижняя точка обруча соприкасается с горизонтальной плоскостью.
Па материальную точку массы m, отклоненную от положения равновесия, действуют сила Fr по величине пропорциональная отклонению ОМ =r = √(x2 + y2) из этого положения и направленная к нему; сила Fφ и перпендикулярная первой (боковая сила), по величине тоже пропорциональная отклонению r: |Fr|=c11r, |Fv|=c12r. Исследовать методом малых колебаний устойчивость равновесного положения точки.
При исследовании устойчивости движения точки в предыдущей задаче принять во внимание силы сопротивления, пропорциональные первой степени скорости Rx = -βx , Ry= -βy (β— коэффициент сопротивления).
Если у стержня, описанного в задаче 56.14, жесткости на изгиб не равны, то реакции конца стержня, действующие на массу m, определяются выражениями Fx = —c11x + c12у, Fy=c21x - c22y. Выяснить методом малых колебаний условия устойчивости равновесия.
Симметричный волчок, острие которого помещено в неподвижном гнезде, вращается вокруг своей вертикально расположенной оси. На него поставлен второй симметричный волчок, который также вращается вокруг вертикальной оси. Острие оси второго волчка опирается на гнездо в оси первого волчка. M - массы верхнего и нижнего волчков, C - их моменты инерции относительно осей симметрии; A - моменты инерции относительно горизонтальных осей, проходящих через острия; c - расстояния центров масс волчков от соответствующих остриев; h— расстояние между остриями. Угловые скорости волчков Ω и Ω&prime. Вывести условия устойчивости системы.
Деталь 1 перемещается поступательно с постоянной скоростью v0 и через пружину передает движение ползуну 2. Сила трения между ползуном и направляющими 3 зависит от скорости ползуна v следующим образом: Н = Н0 sign v — αv + βv3, где H0, α, β - положительные коэффициенты. Определить, при каких значениях v0 равномерное движение ползуна является устойчивым.
Агрегат, состоящий из двигателя 1 и машины 2, соединенных упругой муфтой 3 с жесткостью c, рассматривается как двухмассовая система. К ротору двигателя, имеющему момент инерции J1 приложен момент М1 зависящий от угловой скорости ротора φ: М1 = М0-μ1(φ -ω0). К валу машины, имеющему момент инерции J2, приложен момент сил сопротивления, зависящий от угловой скорости вала φ: М2 = М0 — μ2(φ-ω0) .Коэффициенты μ1 и μ2 положительны. Определить условия, при которых вращение системы с угловой скоростью ω0 является устойчивым.
Платформа тележки опирается в точках А и В на две рессоры одинаковой жесткости c, расстояние между осями рессор AB = l; центр масс С платформы расположен на прямой AB, являющейся осью симметрии платформы, на расстоянии AC = a =l/3 от точки A. Радиус инерции платформы относительно оси, проходящей через ее центр масс перпендикулярно прямой А В и лежащей в плоскости платформы, принять равным 0,2l; вес платформы равен Q. Найти малые колебания платформы, возникающие под действием удара, приложенного в центре масс платформы перпендикулярно ее плоскости, удара равен S.
Две одинаковые материальные точки М1 и М2 массы m каждая прикреплены симметрично на равных расстояниях от концов к натянутой нити, имеющей длину 2(а + Ь); натяжение нити равно p. Определить частоты главных колебаний и найти главные координаты.
Определить частоты малых колебаний тяжелой материальной точки, колеблющейся около положения равновесия на гладкой поверхности, обращенной вогнутой стороной кверху; главные радиусы кривизны поверхности в точке, отвечающей положению равновесия, равны ρ1 и ρ2.
Определить частоты малых колебаний тяжелой материальной точки около ее положения равновесия, совпадающего с наиболее низкой точкой поверхности, вращающейся с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси, проходящей через эту точку. Главные радиусы кривизны поверхности в ее нижней точке p1 и p2.
На проволочную окружность радиуса R, плоскость которой горизонтальна, надеты два одинаковых колечка, соединенные пружиной жесткости c, имеющей в ненапряженном состоянии длину l0. Определить движение колечек, приняв их за материальные точки массы т. Принять, что в начальный момент φ1= 0, а колечко В отклонено от своего равновесного положения на величину дуги, равную 2Rβ. Начальные скорости колечек равны нулю.
Определить малые колебания математического маятника длины l и веса P2, подвешенного к вертикально движущемуся ползуну А веса Р1, прикрепленному к пружине жесткости c. Ползун при своем движении испытывает сопротивление, пропорциональное его скорости с коэффициентом пропорциональности b. Найти условия, при которых в случае b = 0 главные частоты данной системы будут равны между собой.
Два одинаковых жестких стержня длины R имеют общую точку подвеса O. Стержни могут вращаться в вертикальной плоскости вокруг точки подвеса независимо друг от друга. К концам стержней прикреплены два одинаковых груза А и В массы т каждый, соединенные между собой пружиной жесткости c. Длина пружины в состоянии устойчивого равновесия системы равна l. Пренебрегая массой стержней, найти частоты главных колебаний около устойчивого положения равновесия грузов.
Тяжелый однородный стержень длины l и массы m1 нижним концом опирается на шарнир и удерживается в вертикальном положении с помощью пружины жесткости c. К точке стержня, отстоящей от шарнира на расстоянии a, подвешен на нити длины r груз М массы m2. При вертикальном положении стержня пружина находится в ненапряженном состоянии и расположена горизонтально. При какой жесткости пружины стержень и груз могуг совершать малые колебания около вертикального положения? Найти уравнение частот этих колебаний. Массой нити пренебречь.
Однородная балка AB длины l, массы m1 опирается в точке В на пружину жесткости c, а в точке А на цилиндрический шарнир. В точке E балки на расстоянии a от шарнира А на стержне длины r с помощью шарнира подвешен груз массы m2. В положении равновесия балка AB горизонтальна. Найти уравнение малых колебаний балки и груза. Массой стержня пренебречь.