Задачи на тему Определение условий равновесия системы. Устойчивость равновесия

Предмет Теоретическая механика
Из пособия Решебник Мещерский

53.1 Ось вращения AB прямоугольной пластины наклонена под углом а к вертикали. Определить момент сил М относительно оси AB, который нужно приложить к пластине для ее поворота на угол θ. Вес пластины Р, расстояние от центра масс пластины G до оси AB равно a.
РЕШЕНИЕ

53.2 Шарнирным шестиугольник, состоящий из шести равных однородных стержней веса р каждый, расположен в вертикальной плоскости. Верхняя сторона шестиугольника AB неподвижно закреплена в горизонтальном положении; остальные стороны расположены симметрично по отношению к вертикали, проходящей через середину AB. Определить, какую вертикальную силу Q надо приложить в середине горизонтальной стороны, противоположной AB, для того чтобы система находилась в безразличном равновесии.
РЕШЕНИЕ

53.3 К однородному стержню AB длины 2а и веса Q, подвешенному на двух нитях длины l каждая, приложена пара сил с моментом М. Точки подвеса нитей, расположенные на одной горизонтали, находятся на расстоянии 2b друг от друга. Найти угол θ, определяющий положение равновесия стержня.
РЕШЕНИЕ

53.4 Прямолинейный однородный стержень AB длины 2l упирается нижним концом А в вертикальную стену, составляя с ней угол φ. Стержень опирается также на гвоздь C, параллельный стене. Гвоздь отстоит от стены на расстоянии a. Определить угол φ в положении равновесия стержня.
РЕШЕНИЕ

53.5 На гладкий цилиндр радиуса r опираются два однородных тяжелых стержня, соединенных шарниром A. Длина каждого стержня равна 2a. Определить угол 2ϑ раствора стержней, соответствующий положению равновесия.
РЕШЕНИЕ

53.6. Система состоит из двух однородных стержней длины а и массы m, расположенных в вертикальной плоскости. В точке А стержни соединены шарниром. В точке O неподвижный шарнир. В точке В стержень AB соединен шарниром с телом С массы m которое может перемешаться по вертикали, проходящей через точку O. Середины стеожней OA и AB соединены пружиной жесткости с Длина пружины в ненапряженном состоянии lс< a. Найти положения равновесия и условия их устойчивости. Трением и массой пружины пренебречь.
РЕШЕНИЕ

53.7 Концы однородного тяжелого стержня длины l могут скользить без трения по кривой, заданной уравнением f(x,y) = 0 Определить положения равновесия стержня. Ось у направлена по вертикали вверх, ось x-по горизонтали вправо.
РЕШЕНИЕ

53.8 Однородный тяжелый стержень длины l может скользить своими концами без трения по параболе y = ах2 .Определить возможные положения равновесия. (Ось у направлена по вертикали вверх, ось х по горизонтали вправо.)
РЕШЕНИЕ

53.9 Решить задачу 53.7 в предположении, что кривая является эллипсом, а длина стержня удовлетворяет условию l < 2а. Определить возможные положения равновесия стержня
РЕШЕНИЕ

53.10 По гладкому проволочному кольцу радиуса R расположенному в вертикальной плоскости, может скользить без трения колечко. К этому колечку на нити подвешен груз массы m, другая нить, перекинутая через ничтожно малый блок B, расположенный на конце горизонтального диаметра большого кольца имеет на конце С другой груз Q массы m2. Определить положения равновесия колечка А и исследовать, какие из них устойчивы какие нет.
РЕШЕНИЕ

53.11 Однородная квадратная пластинка может вращаться в вертикальной плоскости около оси, проходящей через угол O; вес пластинки Р, длина ее стороны a. К углу А пластинки привязана нить длины l, перекинутая через малый блок B, отстоящий на расстоянии а по вертикали от точки O. Па нити висит груз веса Q. Определить положения равновесия системы следовать их устойчивость.
РЕШЕНИЕ

53.12 Однородный тяжелый стержень AB длины 2a опирается на криволинейную направляющую, имеющую форму полуокружности радиуса R. Определить, пренебрегая трением, положение равновесия и исследовать его устойчивость.
РЕШЕНИЕ

53.13 Подъемный мост OA схематически изображен на рисунке в виде однородной пластины веса Р и длины 2а. К середине края пластины прикреплен канат длины l, перекинутый через малый блок, лежащий на вертикали на расстоянии 2а над точкой O. Другой конец С каната соединен с противовесом, скользящим без трепня по криволинейной направляющей. Определить форму этой направляющей и вес противовеса Q так, чтобы система находилась в безразличном равновесии. При горизонтальном положении моста противовес С находится на прямой OB.
РЕШЕНИЕ

53.14 Исследовать устойчивость вертикального положения равновесия обращенного двойного маятника, изображенного на рисунке. Маятник может быть схематизирован в виде двух материальных точек масс m1 и m2, связанных стержнями длин l1 и l2. В вертикальном положении равновесия пружины (жесткости их k1 и k2) не напряжены.
РЕШЕНИЕ

53.15 Исследовать устойчивость вертикального положения равновесия системы маятников, изображенной на рисунке; длина стержня первого маятника 4h, второго Зh и третьего 2h. Массы всех маятников и жесткости пружин одинаковы и соответственно равны m и k. Расстояния точек прикрепления пружин от центров масс равны h. Массой стержней пренебречь, а массы m рассматривать как материальные точки; когда маятники находятся в вертикальном положении, пружины не напряжены.
РЕШЕНИЕ

53.16 В маятнике паллографа груз M подвешен на стержне OM, свободно проходящем через вращающийся цилиндрик O и шарнирно соединенном в точке A с коромыслом AO1, вращающимся около оси O1. Длина коромысла r, расстояние от центра масс груза до шарнира A равно l, расстояние OO1=h. Исследовать устойчивость вертикального положения равновесия маятника. Размерами груза и массой стержней пренебречь.
РЕШЕНИЕ

53.17 Прямолинейный проводник, по которому течет ток силы i1, притягивает параллельный ему провод AB, по которому течет ток силы i2. Провод AB имеет массу m; к нему присоединена пружина жесткости c; длина каждого из проводов l. При отсутствии в проводе А В тока расояние между проводами равно a. Определить положения равновесия системы и исследовать их устойчивость.
РЕШЕНИЕ

53.18. Стержень OА длины а может свободно вращаться вокруг точки O. К концу А стержня шарнирно прикреплен стержень AB длины a, на другом конце которого закреплен груз В массы m. Точка O и точка B соединены между собой пружиной жесткости c. Масса пружины пренебрежимо мала, длина пружины в ненапряженном состоянии равна a. Найти положения равновесия, считая, что система расположена в вертикальной плоскости. Массой стержней AB и OА пренебречь.
РЕШЕНИЕ