Задачи на тему Устойчивость движения

Предмет Теоретическая механика
Из пособия Решебник Мещерский

56.1 Двойной маятник, образованный двумя стержнями длины l и материальными точками с массами m, подвешен на горизонтальной оси, вращающейся с постоянной угловой скоростью ω вокруг оси z. Исследовать устойчивость вертикального положения равновесия маятника. Массой стержней пренебречь.
РЕШЕНИЕ

56.2 Тяжелый шарик находится в полости гладкой трубки, изогнутой по эллипсу x2/a2 + z2/c2 = 1 и вращающейся вокруг вертикальной оси Oz с постоянной угловой скоростью ω (ось Оz направлена вниз). Определить положения относительного равновесия шарика и исследовать их устойчивость.
РЕШЕНИЕ

56.3 Тяжелый шарик находится в полости гладкой трубки, изогнутой по параболе x2=2pz и вращающейся с постоянной угловой скоростью ω вокруг оси Oz. (Положительное направление оси Oz вверх.) Определить положение относительного равновесия шарика и исследовать его устойчивость.
РЕШЕНИЕ

56.4 Материальная точка может двигаться по гладкой плоской кривой, вращающейся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω. Потенциальная энергия П (s) точки задана и зависит только от ее положения, определяемого дугой s, отсчитываемой вдоль привой, r(s) расстояние точки от оси вращения. Найти условие устойчивости относительного положения равновесия точки.
РЕШЕНИЕ

56.5 Показать, что материальная точка массы m под действием центральной силы притяжения F = ar^n (а = const, r - расстояние точки до притягивающего центра, n n целое число) может совершать движение по окружности с постоянной скоростью. Найти условие, при котором это движение устойчиво по отношению к координате r.
РЕШЕНИЕ

56.6 Твердое тело свободно качается вокруг горизонтальной оси NT, вращающейся вокруг вертикальной оси Oz с угловой скоростью ω. Точка G центр инерции тела; плоскость NTG является плоскостью симметрии... М -масса тела. Определить возможные положения относительного равновесия и исследовать их устойчивость.
РЕШЕНИЕ

56.7 Определить положения относительного равновесия маятника, подвешенного с помощью универсального шарнира O к вертикальной оси, вращающейся с постоянной угловой скоростью ω; маятник симметричен относительно своей продольной оси; A и C его моменты инерции относительно главных центральных осей инерции ξ, η и ζ; h расстояние центра тяжести маятника от шарнира. Исследовать устойчивость положений равновесия маятника и определить период колебаний около среднего положения равновесия.
РЕШЕНИЕ

56.8 Вертикальная ось симметрии тонкого однородного круглого диска радиуса r и веса Q может свободно вращаться вокруг точки A. В точке В она удерживается двумя пружинами. Оси пружин горизонтальны и взаимно перпендикулярны, их жесткости соответственно равны с1 и с2, причем с2>С1. Пружины кренятся к оси диска на расстоянии L от нижней опоры; расстояние диска от нижней опоры l. Определить угловую скорость ω, которую нужно сообщить диску для обеспечения устойчивости вращения.
РЕШЕНИЕ

56.9 Материальная точка M движется под действием силы тяжести по внутренней поверхности кругового цилиндра радиуса a, ось которого наклонена под углом α к вертикали. Исследовать устойчивость движения по нижней (φ=0) и верхней (φ=π) образующим. Определить период колебаний при движении по нижней образующей.
РЕШЕНИЕ

56.10 Материальная точка вынуждена двигаться по внутренней гладкой поверхности тора, заданного параметрическими уравнениями x=ρ cosφ, y= ρ sinφ, z=b sinθ, ρ= a + b cosθ (ось z направлена вертикально вверх). Найти возможные движения точки, характеризующиеся постоянством угла θ, и исследовать их устойчивость.
РЕШЕНИЕ

56.11 Исследовать устойчивость движения обруча, равномерно катящегося с угловой скоростью ω по горизонтальной плоскости. Плоскость обруча вертикальна; радиус обруча a.
РЕШЕНИЕ

56.12 Колесо с четырьмя симметрично расположенными спицами катится по шероховатой плоскости. Плоскость колеса вертикальна. Ободья колеса и спицы сделаны из тонкой тяжелой проволоки. Радиус колеса a, скорость центра его в исходном движении v. Исследовать устойчивость движения.
РЕШЕНИЕ

56.13 Исследовать устойчивость движения однородного обруча радиуса a, вращающегося вокруг вертикального диаметра с угловой скоростью ω. Нижняя точка обруча соприкасается с горизонтальной плоскостью.
РЕШЕНИЕ

56.14 Па материальную точку массы m, отклоненную от положения равновесия, действуют сила Fr по величине пропорциональная отклонению ОМ =r = √(x2 + y2) из этого положения и направленная к нему; сила Fφ и перпендикулярная первой (боковая сила), по величине тоже пропорциональная отклонению r: |Fr|=c11r, |Fv|=c12r. Исследовать методом малых колебаний устойчивость равновесного положения точки.
РЕШЕНИЕ

56.15 При исследовании устойчивости движения точки в предыдущей задаче принять во внимание силы сопротивления, пропорциональные первой степени скорости Rx = -βx , Ry= -βy (β коэффициент сопротивления).
РЕШЕНИЕ

56.16 Если у стержня, описанного в задаче 56.14, жесткости на изгиб не равны, то реакции конца стержня, действующие на массу m, определяются выражениями Fx = c11x + c12у, Fy=c21x - c22y. Выяснить методом малых колебаний условия устойчивости равновесия.
РЕШЕНИЕ

56.17 Уравнение движения муфты центробежного регулятора двигателя имеет вид mx + βx + cx = A(ω - ω0), где x перемещение муфты регулятора, m инерционный коэффициент системы, β коэффициент сопротивления, c жесткость пружин регулятора, ω мгновенная и ω0 средняя угловые скорости машины, A постоянная. Уравнение движения машины имеет вид J(dω/dt) = - Bx (B постоянная, J приведенный момент инерции вращающихся частей двигателя). Установить условия устойчивости системы, состоящей из двигателя и регулятора.
РЕШЕНИЕ

56.18 Симметричный волчок, острие которого помещено в неподвижном гнезде, вращается вокруг своей вертикально расположенной оси. На него поставлен второй симметричный волчок, который также вращается вокруг вертикальной оси. Острие оси второго волчка опирается на гнездо в оси первого волчка. М и М массы верхнего и нижнего волчков, С и С их моменты инерции относительно осей симметрии; А и A моменты инерции относительно горизонтальных осей, проходящих через острия; с и с расстояния центров масс волчков от соответствующих остриев; h расстояние между остриями. Угловые скорости волчков Ω и Ω&prime. Вывести условия устойчивости системы.
РЕШЕНИЕ

56.19 Деталь 1 перемещается поступательно с постоянной скоростью v0 и через пружину передает движение ползуну 2. Сила трения между ползуном и направляющими 3 зависит от скорости ползуна v следующим образом: Н = Н0 sign v αv + βv3, где H0, α, β - положительные коэффициенты. Определить, при каких значениях v0 равномерное движение ползуна является устойчивым.
РЕШЕНИЕ

56.20 Агрегат, состоящий из двигателя 1 и машины 2, соединенных упругой муфтой 3 с жесткостью c, рассматривается как двухмассовая система. К ротору двигателя, имеющему момент инерции J1 приложен момент М1 зависящий от угловой скорости ротора φ: М1 = М0-μ1(φ -ω0). К валу машины, имеющему момент инерции J2, приложен момент сил сопротивления, зависящий от угловой скорости вала φ: М2 = М0 μ2(φ-ω0) .Коэффициенты μ1 и μ2 положительны. Определить условия, при которых вращение системы с угловой скоростью ω0 является устойчивым.
РЕШЕНИЕ