Космический аппарат массы m приближается к планете по прямой, проходящей через ее центр. На какой высоте от поверхности планеты нужно включить двигатель, чтобы создаваемая им постоянная тормозящая сила, равная mT, обеспечила мягкую посадку с нулевой скоростью? Скорость космического аппарата в момент включения двигателя равна v0, гравитационный параметр планеты μ, ее радиус R; притяжением других небесных тел, сопротивлением атмосферы и изменением массы двигателя пренебречь.
Определить полезную работу, которую должен совершить двигатель ракеты, чтобы поднять космический аппарат на высоту H над поверхностью планеты и сообщить ему на этой высоте круговую и параболическую космические скорости. Масса космического аппарата на поверхности планеты равна М, радиус планеты R; сопротивлением атмосферы пренебречь. Вычислить эту работу для второй космической скорости для Земли, если М = 5000 кг.
Космический аппарат вращается с угловой скоростью ω0. Определить, какую полную работу должен совершить двигатель маховика, чтобы остановить вращение космического аппарата, считая, что вращение последнего происходит вокруг поступательно перемещающейся оси, проходящей через его центр масс. Ось вращения маховика совпадает с осью вращения аппарата; J и J0 — моменты инерции маховика и аппарата вместе с маховиком относительно общей оси вращения. В начальный момент угловая скорость маховика равна угловой скорости аппарата.
Считая, что статор электромотора системы в задаче 52.9 создает вращающий момент Mвр = М0 - xω, где М0 и x некоторые положительные постоянные, ω относительная угловая скорость маховика, найти необходимое условие, чтобы торможение вращения космического аппарата произошло за конечное время. Предполагая, что это условие выполнено, определить время торможения.
Определить угол, на который повернется космический аппарат за время торможения вращения, если оно осуществляется способами, описанными в задачах 52.9 и 52.10.
Для поворота корпуса космическою аппарата используется электродвигатель-маховик, уравнение движения которого на вращающемся аппарате имеет вид ω + ω/T = u, где ω относительная угловая скорость маховика, Т — его постоянная времени, u — управляющее напряжение, принимающее значения +-u0. Определить длительность t1 разгона (u = u0) и торможения t2(u =— u0) маховика, если первоначально невращающийся корпус при неподвижном маховике требуется повернуть на заданный угол φ и остановить. Ось вращения маховика проходит через центр масс космического аппарата; движение считать плоским. Моменты инерции маховика и аппарата относительно общей оси вращения соответственно равны J и J0
При испытаниях рессор была получена треугольная характеристика изменения упругой силы. При отклонении рессоры от положения статического равновесия имеет место верхняя ветвь характеристики, при возвращении - нижняя ветвь. В начальный момент рессора отклонена от положения статического равновесия и не имеет начальной скорости. Масса надрессорного тела m, массой рессоры пренебречь; коэффициенты жесткости рессоры с1 и с2. Написать уравнения свободных колебаний рессоры для первой половины полного периода колебании и найти полный период колебании
Определить закон убывания амплитуд свободных колебаний рессоры, рассмотренной в предыдущей задаче. При записи свободных колебаний был получен следующий ряд последовательно убывающих амплитуд: 13,0 мм, 7,05 мм, 3,80 мм, 2,05 мм и т. д. Определить согласно данным виброграммы отношение коэффициентов жесткости с1/с2, соответствующих верхней и нижней ветвям треугольной характеристики.
Масса m колеблется на пружине, коэффициент жесткости которой c. На одинаковых расстояниях Д от положения равновесия установлены жесткие упоры. Считая, что удары об упоры происходят с коэффициентом восстановления, равным единице, определить закон движения системы при периодических колебаниях с частотой ω. Найти ее возможные значения.
Определить зависимость амплитуды первой гармоники свободных колебаний от их частоты в системе, уравнение движения которой имеет вид mx + F0 sign(x) + cx = 0
Выявить условия, при которых в системе, рассмотренной в задаче 56.19, могут возникнуть автоколебания, близкие к гармоническим колебаниям частоты k = √c/m где с — коэффициент жесткости пружины, m — масса ползуна. Определить приближенно амплитуду этих автоколебаний
Предполагая, что в системе, рассмотренной в задаче 56.19, сила трения Н постоянна и равна Н2 при v <>0 и равна Н1 при v = 0 (трение покоя), определить период автоколебаний. Принять, что масса ползуна m, а коэффициент жесткости пружины c.
Масса m связана с неподвижным основанием пружиной с жесткостью с и демпфером сухого трения, величина силы сопротивления в котором не зависит от скорости и равна H. На одинаковых расстояниях Δ от положения равновесия установлены жесткие упоры. Считая, что удары об упоры происходят с коэффициентом восстановления, равным единице, определить значение H, при котором вынуждающая сила F cos(ωt) не может вызвать субгармонических резонансных колебаний, имеющих частоту ω/s.
Центр однородного кругового цилиндра, катящегося без скольжения по горизонтальной плоскости, соединен пружиной с неподвижной точкой O, находящейся на одной вертикали с центром диска, когда диск находится в положении равновесия. Масса цилиндра равна m, коэффициент жесткости пружины c. В положении равновесия пружина не деформирована, длина ее равна l. Определить зависимость периода малых колебаний цилиндра около положения равновесия от амплитуды a, сохранив в уравнении движения члены, содержащие третью степень перемещения.
Уравнения движения маятника в среде с сопротивлением и постоянным моментом, действующим только в одном направлении, имеют вид где h, k и М0—постоянные величины. Считая, что 2h/k<<1. 1, М0/k2 <<1, применить метод медленно меняющихся коэффициентов для нахождения установившегося движения маятника.
Каток радиуса R = 0,5 м и массы m = 800 кг упирается в жесткое препятствие. Высота препятствия H может быть различной; предполагается, что h можно считать случайной величиной с гауссовским распределением, причем ее математическое ожидание равно 0,1 м, а среднее квадратическое отклонение равно 0,02 м. Определить вероятность си того, что горизонтальная сила Q1 = 4900 Н достаточна для преодоления препятствия. Определить, при каком значении силы Q = Q2 вероятность преодоления препятствия равна α 2 = 0,999.
Вертикальная подпорная стенка высоты А = 5 м постоянного сечения толщины a = 1,1 м нагружена гидростатическим давлением воды, уровень которой может быть различным. Плотность материала стены составляет 2,2 т/м3. Считая высоту уровня воды от основания стенки случайной величиной с гауссовским законом распределения, с математическим ожиданием 3,0 м и средним квадратическим отклонением 0,5 м, определить вероятность опрокидывания стенки. Определить также минимально допустимую толщину стенки, исходя из требования, что вероятность ее опрокидывания не должна превышать 3*10-5 .
Определить необходимую силу Q затяжки болта, соединяющего две детали, находящиеся под действием растягивающей силы P, исходя из того, что вероятность проскальзывания должна быть 5*10-4. Сила и коэффициент трения между деталями могут принимать различные значения; предполагается, что их можно считать независимыми случайными величинами с гауссовским законом распределения, причем их математические ожидания соответственно равны mр = 2000 Н, mf = 0,1, а средние квадратические отклонения σр = 200 Н, σf = 0,02.
Груз массы m = 200 кг находится на шероховатой наклонной плоскости. Наклон плоскости и коэффициент трения скольжения могут быть различными. Угол γ наклона плоскости относительно горизонта и коэффициент трения f считаются независимыми случайными величинами с гауссовским распределением, их математические ожидания соответственно равны mγ=0, mf=0,2, а средние квадратические отклонения равны σγ= 3° и σf= 0,04. Определить значение горизонтальной силы Q, достаточной для того, чтобы с вероятностью 0,999 сдвинуть груз по плоскости
В однородном круглом диске радиуса R = 1 м на расстоянии l от центра вырезано круглое отверстие радиуса r. Величины l и r могут принимать различные значения, они считаются случайными, независимыми, подчиняющимися гауссовскому распределению. Их математические ожидания соответственно равны m l = = 0,1 м и mr= 0,05 м, а средние квадратические отклонения равны ма/=0,01 м и Or = 0,005 .м. Определить такое значение смещения центра масс относительно центра диска, вероятность превышения которого составляет 0,001. В выражении для смещения центра масс пренебречь слагаемыми с произведениями отклонении величин l и r от их математических ожиданий.
На уравновешенном роторе, масса которого равна 1000 кг, симметрично относительно оси вращения закреплены две однотипные детали А1 и A2. Случайные отклонения ΔM1 и ΔM2 их масс М1 и М2 от номинального значения (математического ожидания) и случайные смещения Δх1, Δу1 и Δх2 и Δу2 их центров масс относительно точек, лежащих на одном диаметре на расстоянии l = 1 м от оси ротора, приводят к тому, что центр масс С ротора вместе с деталями оказывается смещенным относительно оси. Поэтому координаты хс и ус центра масс являются случайными. Предполагается, что случайные величины М1 и М2, Δх1 Δу1 и Δх2, Δу2 независимы и распределены по гауссовскому закону, их математические ожидания соответственно равны mM1 = mM2 = 100 кг, mΔx1 =mΔy1 =mΔx2 =mΔy2 = 0, а средние квадратические отклонения равны σM1 = σM2 = 0,5 кг, σΔx1 =σΔy1 =σΔx2 =σΔy2 = 3 мм. Определить границы симметричных интервалов для координат хс и ус центра масс ротора вместе с деталями, вероятность нахождения в которых равна α = 0,99.
Однородная прямоугольная платформа массы 1000 кг подвешена к опоре на четырех тросах одинаковой длины, сходящихся в одной точке. Расстояние платформы до точки подвеса равно h = 2 м. На платформу установлены четыре груза малых размеров. Массы и расположение грузов случайны. Предполагается, что массы грузов и их прямоугольные координаты хi и уi, отсчитываемые от центра платформы, взаимно независимы и имеют гауссовское распределение. Математические ожидания масс всех четырех грузов одинаковы и равны mM = 100 кг, среднеквадратические отклонения также одинаковы и равны σM = 20 кг. Координаты грузов имеют нулевые математические ожидания, средние квадратические отклонения координат равны 0,5 м и 0,7 м. Определить границы таких симметричных интервалов для углов наклона платформы, находящейся в равновесии при установленных грузах, вероятности нахождения в которых равны 0,99 Углы считать малыми
Самолет летит из начального в конечный пункт, расстояние между которыми равно 1500 км. Скорость полета v постоянна во времени для каждого полета, но для разных полетов принимает различные значения. Предполагается, что скорость представляет собой случайную величину с гауссовским распределением, с математическим ожиданием 250 м/с и средним квадратическим отклонением 10 м/с. Определить симметричный интервал для времени полета, соответствующий вероятности 0,999.
Самолет летит по прямой линии от начального пункта. Угол ψ отклонения этой прямой от заданной прямолинейной траектории в разных полетах может принимать различные значения. Предполагается, что угол ψ является случайной величиной с гауссовским распределением, его математическое ожидание равно нулю, а среднее квадратическое отклонение 2°. Определить значения вероятности того, что на расстояниях L = 50; 100; 200 км боковое отклонение от заданной траектории не превысит 5 км.
Поезд двигался с начальной скоростью 15 м/с. При торможении ускорение замедленного движения постоянно во времени, но может принимать различные значения. Предполагается, что ускорение w является случайной величиной с гауссовским распределением, с математическим ожиданием mw = —0,2 м/с2 и средним квадратическим отклонением σw =0,03 м/с2. Определить математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение тормозного расстояния до остановки, а также верхнюю границу тормозного расстояния, вероятность превышения которой составляет 0,05.
При расчетной оценке точности стрельбы в мишень принимается, что скорость полета пули постоянна, учитывается случайное отклонение оси ствола и случайное отличие скорости пуль от номинального значения. Считается, что пуля попадает точно в центр мишени, если при точном задании направления оси ствола скорость вылета равна номинальному значению 600 м/с. Углы отклонения φ и ψ оси ствола от заданного направления и отличие Δv скорости вылета от номинального значения считаются независимыми случайными величинами с гауссовским распределением, с нулевыми математическими ожиданиями и со средними квадратическими отклонениями соответственно σφ= σψ= 0,5*10-3 рад и σv = 75 м/с. Расстояние до мишени равно l = 50 м. Определить симметричные интервалы для горизонтального и вертикального смещений точек попадания в мишень относительно ее центра, соответствующие вероятности 0,99.
Снаряд выпущен из орудия с поверхности Земли. Угол бросания φ и начальная скорость v0 могут отличаться от расчетных значений; они считаются независимыми случайными величинами с гауссовским распределением, с математическими ожиданиями, равными расчетным значениям 10° и 1000 м/с, со средними квадратическими отклонениями 0,1 и 10 м/с. Пренебрегая силой сопротивления воздуха, определить интервал дальностей возможных точек падения снаряда на Землю, соответствующий вероятности 0,90. В выражении приращения дальности сохранить слагаемые только первого порядка относительно отклонений угла и скорости от расчетных значений.
Вагон, центр масс которого находится на высоте 2,5 м от уровня полотна железной дороги с шириной колеи 1,5 м, движется по криволинейному участку с радиусом кривизны ρ = 800 м. Подъем наружного рельса над уровнем внутреннего выбран так, чтобы при скорости вагона, равной v = 20 м/с, давление колес на оба рельса было одинаковым. В действительности скорость вагона может быть различной. Принимается, что скорость является случайной величиной с гауссовским распределением, с математическим ожиданием mv = 15 м/с и средним квадратическим отклонением σv = 4 м/с. Определить отношение сил давления колес на внешний и внутренний рельсы при скорости, соответствующей верхней границе интервала, определенного для вероятности α = 0,99.
Автомашина движется по дороге без уклона со скоростью 15 м/с. При торможении сила трения постоянна во времени, но может принимать различные значения. Принимается, что удельная сила трения при торможении является случайной величиной с гауссовским распределением, ее математическое ожидание равно 3000 Н на 1 т массы, а среднее квадратическое отклонение составляет 700 Н на 1 т массы. Определить значения вероятности того, что тормозной путь до остановки превысит 40 м; 80 м.
Ротор массы М, представляющий собой однородный цилиндр радиуса R и длины l, насажен на вал с перекосом и смещением, так что его ось симметрии отклонена от оси вала на малый случайный угол γ, а его центр, расположенный посередине между подшипниками, смещен относительно оси вала на случайную величину h. Расстояние между подшипниками равно 2L. Предполагается, что γ и h представляют собой независимые случайные величины, угол у имеет нулевое математическое ожидание, расстояние h—математическое ожидание тн и средние квадратические отклонения соответственно равны σγ и σh. Угловая скорость вращения ротора вокруг вертикальной оси считается случайной величиной с математическим ожиданием mω и средним квадратическим отклонением σω. Определить средние квадратические отклонения σR1 и σR2 реакций подшипников R1 и R2.